Курсовая работа: Бипримарные группы
Пусть конечная группа 
является произведением двух своих подгрупп 
и 
, причем есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы при дополнительных ограничениях на подгруппы и получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если дедекиндова, т. е. в все подгруппы инвариантны, то простая группа описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа в случае, когда --- нильпотентная группа.
Основным результатом настоящей заметки является
Теорема Пусть есть группа Шмидта, --- 2-разложимая группа, порядки и взаимно просты. Если 
и --- конечная неразрешимая группа, то 
, 
, 
и 
--- простое число 
или 
для некоторого простого 
.
обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в подгруппу.
Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп 
, если --- группа Шмидта, а --- 
-разложимая группа, где состоит из простых делителей порядка и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа , где подгруппа есть группа Шмидта, а --- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).
Рассматриваются только конечные группы. 
обозначает порядок группы 
, а 
--- множество всех простых делителей . Если --- некоторое множество простых чисел, то 
--- наибольшая инвариантная в -подгруппа. 
--- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с 
подгруппами в . Остальные обозначения можно найти в [??].
Свойства групп Шмидта хорошо известны [??], наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.
Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.
Теорема Мазуров -- Сыскин 9 Если --- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то 
для некоторого .
Теорема Гольдшмидт 10 Если в простой группе силовская 2-подгруппа 
неабелева и 
, для всех 
и некоторой абелевой неединичной подгруппы 
из , то или 
.
Лемма Пусть разрешимая группа , где --- группа нечетного порядка, --- 2-замкнутая группа четного порядка и 
. Если 
, то 
Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Введем следующие обозначения: 
; 
--- минимальная инвариантная в подгруппа; 
; --- силовская 2-подгруппа; 
--- ее дополнение. Ясно, что 
. Если 
, то 
, отсюда и . Пусть 
и 
--- минимальная инвариантная -подгруппа в 
. Тогда 
и 
, где 
--- силовская 
-подгруппа 
для 
. Можно считать, что 
, поэтому 
. Кроме того, неинвариантна в , значит 
--- собственная в подгруппа. Замечание Фраттини дает, что 
. Теперь 
и 
. Так как 
, то 
, т. е. 
--- собственная в подгруппа. Порядки и взаимно просты, поэтому 
. По индукции 
, поэтому и . Лемма доказана.
Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть 
, --- инвариантная силовская -подгруппа, 
--- силовская 
-подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической -группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что 
.
Допустим, что группа непроста и 
--- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда --- неразрешимая группа.
Предположим, что не содержит . Тогда 
нильпотентна, а так как 
, то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как 
, то из свойств групп Шмидта следует, что содержится в и --- силовская 2-подгруппа в . Если непроста, то 
--- неразрешимая группа, где 
--- некоторая инволюция из центра . Так как 
и --- группа Шмидта четного порядка, то по индукции 
, или 
, --- простое число. Замечая, что 
и 
--- абелева группа порядка 4 или 
, получаем, что, 
. Теперь должно быть четным числом, значит, 
. В этих случаях 
и --- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что . Следовательно, --- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа изоморфна 
. Поэтому 
, значит, 
и
Порядок факторгруппы 
равен 
, и 
делится на . Так как 
, то делит порядок . Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.
Следовательно, содержит подгруппу . Так как --- циклическая силовская подгруппа в , то --- простая группа и по индукции 
, или , где --- простое число. Так как 
, 
разрешима, a 
, то 
. Теперь изоморфна некоторой подгруппе из 
. Если или , то 
или 
. допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа не допускает требуемой факторизации. Если --- простое число, то и --- простое число. Так как 
, где 
, то 
. Противоречие.
Таким образом, --- простая группа.
Предположим, что силовская 2-подгруппа группы абелева. Тогда по результату Уолтера [??] группа может быть изоморфной только одной из следующих групп: 
, 
или 
, группе Янко порядка 175560 или группе 
типа Ри. Из групп для указанных лишь группы или , где --- простое число, допускают нужную факторизацию [??]. Группа Янко не допускает требуемой факторизации [??]. Порядок группы делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому неизоморфна .
В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как порядки и взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа 
из содержится либо в , либо в . Если 
, то 
и группа изоморфна для некоторого . Но в этом случае 
, поэтому 
, 
и делит 
. Так как , то делит 
. Но порядок делится на 
, а значит, и на . Противоречие.
Следовательно, 
. Теперь 
, 
, --- инвариантное 2-дополнение в . Если 
, то 
и 
ввиду леммы Бернсайда [??]. Поэтому 
, --- элементарная абелева -группа и 
--- показатель числа 
по модулю . Из результатов Уолеса [??] непосредственно получаем, что 
. Противоречие.
Значит, 
. Введем следующие обозначения: --- минимальная инвариантная в подгруппа;
