Курсовая работа: Дослідження методів інтерполяції

В наш час, коли надзвичайно швидкими темпами розвивається наука і техніка, людина освоює все нові і нові галузі, все більше проникає як в надра землі так і за її межі, з’являється багато нових і досить складних задач, рішення яких потребує нових методів і нових підходів. Зокрема надзвичайно велика кількість задач електроніки, електротехніки, механіки, кібернетики та ряду інших галузей науки вимагають від вчених інженерів вирішення досить складних математичних задач, які вимагають певного аналізу та нестандартного підходу до вирішення.

З’являються задачі, які не можна розв’язати за допомогою класичної математики і отримати точний розв’язок, і взагалі досить часто про отримання точного розв’язку не доводиться говорити, оскільки отримати його при існуючих умовах просто неможливо. Тож ставляться задачі отримати приблизні розв’язки, але якомога близькі до точних. Тому в таких задачах використовуються різні наближені методи рішення тієї чи іншої задачі.

Чисельні методи направлені на вирішення задач, що виникають на практиці. Вирішення задачі чисельними методами зводиться до арифметичних та логічних операцій над числами, що вимагає застосування обчислювальної техніки. Умови і рішення задач найчастіше є наближеними, тобто мають похибки, причинами яких є невідповідність побудованої математичної моделі реальному об’єкту, похибки методів обчислень, похибки округлення тощо.

Обчислювальна техніка сьогодення є потужним засобом для фактичного виконання обчислень. Завдяки цьому в багатьох випадках стало можливим відмовитись від наближеного трактування прикладних задач і перейти до їх вирішення в точній постановці. Розумне використання сучасної обчислювальної техніки не можливе без вмілого застосування чисельних методів.

1. Короткі теоретичні відомості

1.1 Задача інтерполяції

Мета інтерполяції - побудова функції , яка приймає в окремих точках (вузли інтерполяції) значення,

(1)

що збігається з раніше заданими значеннями в цих точках невідомої функції . Геометрично це означає, що потрібно знайти криву певного типу, яка проходить через систему точок (рисунок 1).

Рисунок 1. Інтерполяція даних

В загальних випадках ця задача має нескінчену множину розв’язків чи зовсім не має розв’язку, але вона стає однозначною, якщо замість довільної функції шукати поліном ступеня не вище , який задовольняє умову (1), тобто

(2)

Інтерполяційну формулу , як правило, використовують для наближеного обчислення значень даної функції для . Така операція зветься інтерполяцією. Треба відзначити, що розрізняють інтерполяцію в вузькому розумінні, коли , та екстраполяцію, коли знаходиться за межами інтервалу , тобто чи . [1]

1.2 Інтерполяційна формула Лагранжа

Інтерполяція за Лагранжем вживається в загальному випадку для довільно розташованих вузлів.

Інтерполяційний поліном для методу Лагранжа представлений у вигляді:

, (3)

де всі (j=0,…, n ) - поліноми ступеня n , коефіцієнти яких можна знайти з допомогою (n+1 ) рівняння: .

Для полінома, який шукаємо, отримаємо:

(4)

Формулу (1.8) називають інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Треба відзначити дві головні властивості поліномів Лагранжа:

(5) 2)

якщо лінійно залежить від , то слушний принцип суперпозиції: інтерполяційний поліном суми декількох функцій дорівнює сумі інтерполяційних поліномів доданків.

Похибка при інтерполяції за Лагранжем може бути оцінена таким чином:

(6)

де . (7)

1.3 Метод розподілених різниць

Інтерполяційні формули можна отримати, вживаючи визначення поділених різниць.

Так відношення

(8)

називається розподіленою різницею першого порядку, а відношення