Курсовая работа: Фізичні основи квантової электроніки

(2.10)

Дій силі відповідатиме потенціал:

(2.11)

Це і буде зовнішнє збурення, що діє на атом.

Нехай, як ми і припускали, в момент t=0 атом знаходиться у стаціонарному стані з енергією E_{n .} Під впливом збурення буде буде здійснюватися перехід в інші стани. Знайдемо імовірність переходу E_n – E_m за проміжок часу 0 – t. Для цього потрібно розв’язати нестаціонарне рівняння Шредінгера: (2.12), де гамільтоніан , .

Розв’язок будемо шукати у вигляді: (2.13)

Підставивши (2.13) у рівняння (2.12) і провівши нескладні викладки отримаємо:

(2.14).

Підставляючи в цю рівність замість φ_m функції φ₁ , φ₂ ,…отримаємо систему рівнянь, за яких можна знайти всі коефіцієнти С₁ , С₂ ,…, тобто значення ймовірностей. Ці рівняння є тотожними, поскільки ніяких наближень не робилося.

Практично знайти коефіцієнти C_m з точного рівняння (2.14) неможливо, оскільки рівняння утворюють систему з нескінченним числом невідомих. Для отримання першого наближення можна скористатися тим, що коефіцієнти С_к (t) змінюються з часом повільно, а тому можна прийняти, що в час, близький до t=0, коефіцієнти С_к зберігають ті значення, які вони мали при t=0. Наприклад, якщо пр t=0 атом знаходиться у стаціонарному стані з енергією E_n , то для t=0 коефіцієнт C_n рівний одиниці, а решта рівні

,

Оскільки для цього моменту з достовірністю відомо, що атом знаходиться у стані . Допускаємо, що ці значення коефіцієнтів зберігаються при достатньо малих значеннях t >0.Тому одержимо:

(2.15)

Переходи, які здійснюються в атомі під впливом поля випромінювання, можуть ати двоякий характер. Якщо E_m > E_n , то атом буде поглинати енергію із поля, якщо E_m <E_n – то атом віддає енергію полю – відбувається вимушене випромінювання. В першому випадку додатне, у другому від’ємне. У кожному випадку одним із двох членів у дужках виразу (2.15) можна знехтувати першим доданком, а у випадку вимушеного випромінювання – другим.

Розглянемо випадок поглинання, тоді з (2.15) матимемо:

(2.16)

Квадрат модуля С_m характеризує імовірність переходу, тому

(2.17)

(С_m )² пропорційно квадрату дипольного моменту переходу результат аналогічний класичній теорії випромінювання з тією різницею, що замість дипольного моменту e^x входить матричний елемент ex_mn .

Імовірність матиме максимальне значення при , тобто падаюча хвиля спричиняє перехід E_n → E_m тільки у тому випадку, коли її частота співпадає з або дуже близька до .

Розглянутий випадок є ідеалізованим. Дійсно, ми розглядали стани з різко визначеними значеннями енергії E_m і E_n , а отже і - строго визначена частота. В дійсності ж, стани мають скінченну ширину, а тому лінія поглинання теж має скінченну ширину, тобто є вузькою ділянкою суцільного спектру. Тому для отримання повної імовірності переходу, що відповідає всій ширині лінії, а не тільки її максимуму, необхідно (2.17) про інтегрувати по частотам в межах ширини лінії. Тоді одержимо:

(2.18)

Знайдена повна імовірність переходу за t секунд пропорційна часу, а тому імовірність переходу за одиницю часу є величиною постійною.

2.3. Інтенсивність та ширина спектральних ліній випромінювання.

Якщо атом знаходиться у збудженому стані m, то можливий спонтанний перехід на рівень піз випромінюванням кванта світла.

У загальному випадку для інтенсивності випромінювання можна записати формулу:

(2.19)

Для довільної точки ми можемо записати для інтенсивності випромінювання формулу: (2.20), де .

Перетворюючи попередній вираз для напівширини спектральної лінії одержимо, що: (2.21). Оскільки коефіцієнт затухання коливань γ рівний: , то вираз (2.21) отримає вигляд: (2.22).

Ширина спектральної лінії визначається формулою (2.22) та носить назву природної ширини спектральної лінії випромінювання. Вона залежить тільки від затухання коливань атома внаслідок коливання та не залежить від інших причин, які можуть викликати розширення спектральних ліній випромінювання. Розрахунок дає значення .