Курсовая работа: Геометрия места точек на плоскости

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

3. Основные геометрические места точек на плоскости

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла (рис. 4). АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.

Рис. 4.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 5). MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.

Рис. 5.

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 6). Точка О равноудалена от точек окружности.

Рис. 6.

Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 7). А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.

АМ = МВ и АК = КС.

Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.

Рис. 7.

Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 8). В ⊿ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.

Рис. 8.

4. Примеры задач на геометрические места точек

1. Два колеса радиусов r₁ и r₂ катаются по прямой l. Найдите множество точек пересечения M их общих внутренних касательных.

Решение :Пусть O₁ и O₂ — центры колес радиусов r₁ и r₂ соответственно. Если M — точка пересечения внутренних касательных, то O₁ M: O₂ M = r₁ : r₂ . Из этого условия легко получить, что расстояние от точки M до прямой l равно 2r₁ r₂ /(r₁ + r₂ ). Поэтому все точки пересечения общих внутренних касательных лежат на прямой, параллельной прямой l и отстоящей от нее на расстояние 2r₁ r₂ /(r₁ + r₂ ).

2. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Решение : Пусть окружность с центром O проходит через данные точки A и B. Поскольку OA = OB (как радиусы одной окружности), точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Обратно, каждая точка O, лежащая на серединном перпендикуляре к AB, равноудалена от точек A и B. Значит, точка O — центр окружности, проходящей через точки A и B.

3. Стороны AB и CD четырехугольника ABCD площади S не параллельны. Найдите ГМТ X, лежащих внутри четырехугольника, для которых S_ABX + S_CDX = S/2.