Курсовая работа: Использование линейного программирования для решения задач оптимизации

III шаг.

Основные переменные : х₁ , х₂ , х_3.

Неосновные переменные : х₄ , х_5.

Выразим основные переменные через неосновные:

х₁ = 12– 4/3х₄ + 1/3х₅ ;

х₂ = 18 + 1/3х₄ - 1/3х₅ ;

х₃ = 21 + 11/3х₄ - 11/3х_5.

Третье базисное решение Х₃ = (12, 18, 21, 0, 0) является допустимым.

Выразим линейную функцию через неосновные переменные:

F = 30(12– 4/3х₄ + 1/3х₅ )+ 40(18 + 1/3х₄ - 1/3х₅ ) = 1080 – 80/3х₄ - 10/3х_5.

Значение линейной функции F₃ = F(X₃ ) = 1080.

Это выражение не содержит положительных коэффициентов при не основных переменных, поэтому значение F₃ = F(X₃ ) = 1080 максимальное. Функцию F невозможно ещё увеличить, переходя к другому допустимому базисному решению, то есть решение X₃ – оптимальное. Вспоминая экономический смысл всех переменных можно сделать выводы.

Прибыль предприятия принимает максимальное значение 1080 ден. ед. при реализации 12 единиц продукции Р₁ (Х₁ =12) и Р₂ (Х ₂ =18). Дополнительные переменные х ₃ , х ₄ , х _5.

показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением, то есть остатки ресурсов. При оптимальном плане производства х ₄ = х ₅ = 0, остатки ресурсов S₂ и S₃ равны нулю, а остатки ресурсов S₁ = 21.

Ответ: максимальная прибыль от реализации продукции равна 1080 ден. ед.

2 способ – геометрический мето д

Геометрический метод решения задач оптимизации сводится к нахождению оптимального решения задачи в одной из угловых точек многоугольника(рис. 1) для

линейной функции F = 30х₁ + 40х₂ →maxпри следующих ограничениях:

3х₁ + х₂ ≤ 75, (I)

х₁ + х₂ ≤ 30, (II) (12)

х₁ +4х₂ ≤ 84, (III), х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₂ ≥ х₁

по смыслу задачи.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

II

I

С

В

А

??????? ???, ???????????? ?? ???????, ???????? ???????? ?????????? ???????? ??????? F. ???????? ?? ???????? ??????? (12), ????? ????????, ??? ????? ??????????? ??????? ????????? ? ????? ?, ??????????? ?? ??????????? ?????? I? II, ?? ???? ?????????? ????? ? ???????????? ???????? ??????? ?????????:

3х₁ + х₂ ≤ 75, х₁ = 12,

х₁ + х₂ ≤ 30, или х₂ = 18., т. е. А(12, 18)

максимальное значение линейной функции равно :

F_max = 30*12 + 40*18 = 1080.

Итак, F_max = 1080 при оптимальном решении х₁ = 12, х₂ = 18, т. е. максимальная прибыль в 1080 ден. ед. может быть достигнута при производстве 12 единиц продукции А и 18 единиц продукции В. Ответ: F_max = 1080.