Курсовая работа: Изгибаемые многогранники. Октаэдр Брикара. Флексор Штеффена
Также можно легко сконструировать реберную модель октаэдра Брикара из тонких пластиковых трубочек для питья, нанизав их соответствующим образом на нитки
7 СВОЙСТВА ОКРАЭДРА БРИКАРА
Основные свойства
Многогранная поверхность называется октаэдром Брикара, если как и обычный октаэдр, она имеет 6 вершин (A, B, C, D, E и F), 12 ребер (AB, AD, AE, AF, BC, BE, BF, CD, CE, CF,DE и DF) и 8 граней (ABE, ABF, BCE, BCF, CDE, CDF,ADE и ADF). Вместе с тем октаэдр Брикара является невыпуклым, изгибаемым и имеет самопересечения.
Лемма 1. Пусть в пространстве дан четырёхугольник ABCDс равными противоположными сторонами AB = CD, AD=BC. Тогда у этого четырёхугольника есть ось симметрии, проходящая через середины диагоналей AC и BD, а в частном случае, когда четырёхугольник является параллелограммом, ось симметрии проходит через точку пересечения диагоналей перпендикулярно плоскости параллелограмма.
Рис.18
Эта лемма позволяет нам описать изгибаемый октаэдр Брикара первого типа. Рассмотрим четырёхзвенный механизм ABCD(т. е. четыре стержня, соединённые шарнирами и имеющие возможность вращаться вокруг них) и удовлетворяющий условиям леммы 1. Пусть l — его ось симметрии. Пусть N — произвольная точка пространства, отличная от A, B, C, Dи не лежащая на оси l (рис. 18, а и б изображают два разных вида четырёхугольника ABCD, дающих четырёхгранный угол NABCDбез самопересечений и с самопересечениями, соответственно). Соединим N с вершинами четырёхзвенника ABCDи полученные «проволочные» треугольники NAB, NBC, NCD, NDAзаклеим плоскими треугольниками (эта операция образно называется «обшивкой каркаса гранями»). Получится четырёхгранный угол с известными длинами рёбер. Этот четырёхгранный угол при фиксированных длинах рёбер может изгибаться, причём его нетривиальные изгибания определяются изменяющимся значением одного параметра — угла a = ZABC. Действительно, угол a определяет положение треугольника ABCна плоскости p, а знание расстояний от трёх точек A, B, C до N определяет положение N однозначно (на самом деле точка N может иметь два положения, симметричных относительно плоскости p, но мы рассматриваем только непрерывные изменения исходного положения точки N), а знание положения точек A, B, N и расстояний от них до Dоднозначно определяет непрерывные изменения положения точки D.
Изгибаемость
Почему октаэдр Брикара изгибаем? Половинка октаэдра, очевидно, изгибается. Вторая половинка получается из первой поворотом вокруг оси, и, следовательно, ее деформация в точности повторяет деформацию первой половинки. Значит, и весь октаэдр Брикара изгибаем.
Рис.19
Очевидно, многогранная поверхность P является изгибаемой: если треугольник BCE фиксировать в пространстве, то точку Fможно двигать так, как показано стрелками на рис. 19. При этом положение точек A и Dв пространстве также будет меняться,но, что особенно важно, расстояние между точками A и Dбудет оставаться постоянным.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим двугранный угол S, одной гранью которого служит полуплоскость s1 , проходящая через точку B и ограниченная прямой EF, проходящей через точки E и F, а другой гранью — полуплоскость s2 , проходящая через точку C и ограниченная прямой EF. Повернем полуплоскость s1 вокруг прямой EF так, чтобы новая полуплоскость t1 проходила через точку A. В соответствии с рис. 18 для этого надо пове