Курсовая работа: Логарифмические уравнения
или
loga [f (x )·g (x )] = b иloga f (x ) + loga g (x ) = b
вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.
2. Использование определения логарифма
Пример 1. Решить уравнения
| a) log2 (5 + 3log2 (x - 3)) = 3, | c) log(x - 2) 9 = 2, |
b)  | d) log2x + 1 (2x 2 - 8x + 15) = 2. |
Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a , чтобы получить b . Таким образом, loga b = c , b = ac и, следовательно,
5 + 3log2 (x - 3) = 23
или
3log2 (x - 3) = 8 - 5, log2 (x - 3) = 1.
Опять используя определение, получим
x - 3 = 21 , x = 5.
Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:
log2 (5 + 3log2 (5 - 3)) = log2 (5 + 3log2 2) = log2 (5 + 3) = log2 8 = 3.
Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.
b) Аналогично примеру a), получим уравнение
откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.
c) Аналогично примеру a), получим уравнение
(x - 2)2 = 9.
Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 - 4x - 5 = 0 с решениями x 1 = -1 и x 2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.
d) Используя определение логарифма, получим уравнение
(2x 2 - 8x + 15) = (2x + 1)2
или, после элементарных преобразований,
x 2 + 6x -7 = 0,
откуда x 1 = -7 и x 2 = 1. После проверки остается x = 1.
3. Использование свойств логарифма
Пример 3. Решить уравнения
| a) log3 x + log3 (x + 3) = log3 (x + 24), |
| b) log4 (x 2 - 4x + 1) - log4 (x 2 - 6x + 5) = -1 /2 |
| c) log2 x + log3 x = 1 |