Курсовая работа: Метод комплексных чисел в планиметрии
(4.4)
Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда и ab - c – действительное число. Отсюда , а значит, с должно быть действительным числом. Итак, уравнение
(4.5)
есть уравнение окружности с центром и радиусом
4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам . Пусть окружность проходит через точки A , B , C . Тогда однородная линейная система
относительно имеет ненулевое решение (так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому её определитель равен нулю:
(4.6)
Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.
4.5. Ортогональные окружности. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными , если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Даны две окружности ( A , R ) и ( B , r ), заданные соответственно уравнениями: где и где Для того, чтобы эти окружности были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы или
(4.7)
или
(4.8)
З а д а ч а 7. В плоскости даны два отрезка AB иCD . Найдите множество точек М , для каждой из которых площади треугольников MAB иMDC равны (рис. 10).
З а д а ч а 9.На гипотенузе AB прямоугольного треугольникаABC дана произвольная точкаP . Докажите, что окружности, описанные около треугольниковAPC и BPC , ортогональны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем вершину С данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А, В, P соответствуют комплексные числа 1, b , p , а центрам окружностей РАС и РВС числа (рис. 11). По условию или . Переходя к комплексным числам, получаем: откуда .
Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС :
или
После раскрытия определителя получаем:
или
откуда
Из уравнения находим:
Аналогично, для окружности Р A С имеем:
и
отсюда
Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС и РВС были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы Учитывая предыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия: