Курсовая работа: Метод вейвлет-перетворення

Вейвлетне перетворення має багато спільного з перетворенням Фур'є. У той же час є ряд досить істотних відмінностей.Як приклад розглянемо застосування вейвлет-аналіза до синусоїд f(t)=sin(2πt/T₁ )+α sin(2πt/T₂ ) , що дозволяє легко порівняти з результатами звичайного перетворення Фур'є.

На рисунку 4.1 показаний сигнал у вигляді суми синусоїд, що відрізняються частотами: (y=sin(30*x)+sin(100*x)).

Рисунок 4.1 - Сума синусоїд , що відрізняються частотами

Вейвлет-перетворення такого сигналу виявляє періодичну структуру не гірше й не краще перетворення Фур'є. На рисунку 4.2 видні дві широких смуги, що відповідають двом різним частотам.

Рисунок 4.2 - Вейвлет перетворення суми синусоїд з різними частотами

Однак відмінність цих двох спектральних аналізів проявляється, коли сигнал являє собою дві послідовні синусоїди з різними частотами ( рисунок 4.3).

Рисунок 4.3 - Дві послідовні в часі синусоїди з різними частотами

Як видно з рисунку 4.3 вейвлет-перетворення в цьому випадку дозволяє простежити еволюцію частоти сигналу в часі, тоді як Фур'є-спектр (рисунок 4.5) в обох випадках дасть нам тільки два піки й ніяк не відіб'є сам момент зміни частоти сигналу[12].

Рисунок 4.4 - Вейвлет-перетворення двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами

Рисунок 4.5 - Спектр Фур'є двох послідовних у часі синусоїд з різними частотами

4.1 Перетворення Фур'є (ПФ)

В основі спектрального аналізу сигналів лежить інтегральне перетворення й ряди Фур'є. Нагадаємо деякі математичні визначення.

У просторі функцій, заданих на кінцевому інтервалі (0,T), норма, як найбільш загальна числова характеристика довільної функції s(t), по визначенню обчислюється як корінь квадратний зі скалярного добутку функції. У загальному випадку, для комплексних функцій, квадрат норми (енергія сигналу) відповідає виразу:

||s(t)||² = á s(t), s(t) ñ = s(t)·s^* (t) dt, (4.1.1)

де s ^* ( t ) – функція, комплексно сполучена з s ( t ).

Якщо норма функції має кінцеве значення (інтеграл сходиться), то говорять, що функція належить простору функцій L ² [ R ], R =[0, T ], інтегрувальних із квадратом (простір Гильберта), і, відповідно, має кінцеву енергію. У просторі Гильберта на основі сукупності ортогональних функцій з нульовим скалярним добутком

á v(t), w(t) ñ = v(t)·w^* (t) dt = 0 (4.1.2)

завжди може бути, створена система ортонормованих "осей" (базис простору), при цьому будь-який сигнал, що належить цьому простору, може бути представлений у вигляді вагової суми простих складових, проекцій сигналу на ці "осі" - базисних векторів. Значення проекцій визначаються скалярними добутками сигналу з відповідними функціями базисних "осей".

Базис простору може бути утворений будь-якою ортогональною системою функцій. Найбільше застосування в спектральному аналізі одержала система комплексних експонентних функцій. Проекції сигналу на даний базис визначаються виразом:

S_n = (1/ T ) s ( t ) exp (- jn ·· t ) dt , n Î (-∞, ∞), (4.1.3)

де =2/T – частотний аргумент векторів. При відомих виразах базисних функцій сигнал s(t) однозначно визначається сукупністю коефіцієнтів S_n і може бути абсолютно точно відновлений (реконструйований) по цих коефіцієнтах:

s(t) =S_n exp(jn· Dw ·t). (4.1.4)

Рівняння (4.1.3) і (4.1.4) називають прямим і зворотним перетворенням Фур'є сигналу s(t). Таким чином, будь-яка функція гильбертова простору може бути представлена у вигляді комплексного ряду Фур'є (4.1.4), що називають спектральним представленням сигналу або його Фур'є-образом.

На практиці ряд Фур'є обмежується певною кількістю членів N. Обмеження числа членів ряду значенням N означає апроксимацію нескінченного сигналу N - мірною системою базисних функцій спектра сигналу з певною погрішністю залежно від фактичного спектра сигналу. Ряд Фур'є рівномірно сходиться до s(t) по нормі (4.1.1):

||s(t) -S_n exp(jn Dw t)|| = 0. (4.1.5)