Курсовая работа: Метод Жордана Гаусса

шляхом вибору із системи певних елементів для обчислення визначника. Кількість обчислень таких визначників при розв’язуванні певної системи дорівнює:

де n – розмірність квадратної матриці (або кількість невідомих квадратної матриці).

1.3 Алгоритм розв’язку задачі

Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими. Для методу Жордана-Гауса її зручно зобразити у вигляді такої таблиці:

		…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…

Нехай потрібно виразити змінну з і-го рфвняння системи, а потім потрібно підставити отриманий вираз в усі інші рівняння системи. Таке перетворення системи називають кроком Жорданових виключень з основним елементом .

Такі перетворення зручно виконувати користуючись таблицею (1), яка перейде в іншц таблицю за слідуючими правилами:

Усі вільні елементи реально заданої системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тобто стовпець замінюють на протилежні;

Основний елемент замінюють на одиницю. Над основним стовпчиком записують , а біля рядка ;

Інші елементи основного стовпчика j залишають без змін;

Інші елементи основного рядка і-го змінюють лише свої знаки;

Елементи, які не належать розв’язуючому рядку або стовпчику обчислюють наступним чином. Створюється двовимірний визначник, який складається з таких елементів попередньої таблиці:

а) елемента з цими ж індексами, що й в обчислювальному елементі;

б) основний елемент;

в) елемент, який є спільним для стовпця з елементом (а) і стовпця з елементом (б);

г) елемент, який є спільним для стовпця з елементом (б) і рядка з елементом (а).

Шуканий елемент обчислюється як добуток елементів (а) та (б) мінус добуток залишившихся елементів визначника.

Цю дію можна зобразити у вигляді формули:

Всі елементинової таблиці ділять на елемент . Тим самим створюють ще одну таблицю, але вже без стовпця з елементом , а рядок з елементом позначають так, як позначили вилучений стовпець.

Виконавши всі описані операції новостворена таблиця матиме вигляд:

		…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
…	…	…	…	…	…
			…

Шукаючи невідомі системи лінійних алгебраїчних рівнянь продовжують виконувати операції 2...6, причому основним елементом вже не можна вибрати елемент jI рядка, в якому вже був при попередніх Жорданових виключеннях використаний елемент. Операції 2...6 продовжують мати, поки усі позначення рядків не будуть замінені позначеннями стовпців, тобто поки всі стовпці крім -го не будуть вилучені.

Шуканими елементами будуть елементи, які залишаться після всіх обчислень в рядках навпроти нових позначень даних рядків. Оскільки нові позначення рядків відповідають відповідним невідомим та елементи навпроти, будуть відповідати розв’язкам заданої системи. З обчислення випливає, що шукані невідомі опиняються в стовпці під позначенням стовпця вільних елементів.

З даного методу обчислення помітно, що для розв’язку система повинна мати одинакову кількість рядків і невідомих, бо в протилежному випадку невідомі буде важко чи навіть неможливо знайти (коли невідових більше чим рядків) даним методом.

Розв’язуючи систему вручну методом Жордана-Гауса, основним елементом зручно вибирати число на яке найменьше ділити і, зрозуміло, що неможливо вибирати 0. для полегшення розв’язку при обчисленні кожен рядок зокрема можна скорочувати.

Оскільки комп’ютер не має логічного мислення, то йому важко задати вибирати зручніший елемент. Тому йому в програмі можна задати, щоб він вибрав перший можливий елемент для основного елемента.

2. Практична частина