Таким образом В есть ограниченная решетка, кроме того аксиомы (2) и (4) указывают на то, что решетка дистрибутивна и дополнена. И наоборот, любая ограниченная, дистрибутивная и дополненная решетка есть булева алгебра.

Определение: Булева алгебра – это ограниченная, дистрибутивная и дополненная решетка.

Мы можем ввести на булевой алгебре отношение частичного порядка. Полагаем, что a £ b Û

a Ú b = b , a Ù b = a .

Теорема. В булевой алгебре следующие выражения эквивалентны:

1) a + b = b

2) a * b = a

3) a ` + b = 1

4) a * b ` = 0.

Доказательство .

1. Докажем эквивалентность (1) и (3)

а) Пусть (1) верно, тогда

a` + b = a`+ (a + b) = (a` + a) + b = 1 + b = 1 ;

b) Пусть (3) верно, тогда

a + b = (a` + b) * (a + b) = b * (a + a`) = b * 1 = b;

2. Докажем эквивалентность (3) и (4)

a) Пусть (3) верно, тогда

0 = 1` = (a` + b)` = (a`)` * b` = a * b` ;

b) Пусть (1) верно, тогда

1 = 0` = (a + b`)` = a` + ( b`)` = a` + b ;

3. Докажем эквивалентность (2) и (4)

a) Пусть (2) верно, тогда

a * b` = (a * b) * b` = a * (b * b`) = a * 0 = 0 ;

b) Пусть (4) верно, тогда

a * b = a * b + 0 = a * b + a * b` = a * (b + b`) = a * 1 = a;

Тогда выражения (1), (2), (3), (4) эквивалентны.

Пример 1. Рассмотрим алгебру множеств – модель булевой алгебры.

А £ В если А Ì В.

1. А Ú В=В

2. А Ù В=А