Курсовая работа: Модель экспертной оценки
Теорема 2.1 (Янг [1975])
(а) Все отображения голосования, основанные на подсчете очков (подмножества кандидатов, которые выбирают, с наибольшим суммарным количеством очков), удовлетворяют аксиоме пополнения. Если при равенстве очков выбор проводится на основе фиксированного порядка на А, то соответствующие правила голосования также удовлетворяют аксиоме пополнения.
(b) Не существует зажиточного по Кондорсу правила голосования (или отображение голосования), которое бы удовлетворяло аксиоме пополнения.
Аксиома участия . Пусть кандидат а выбирается из множественного числа А избирателями из N. Рассмотрим дальше избирателя и за N. Тогда избиратели из N È{i } должны избрать или а, или кандидата, что для агента I и строго лучше а.
Значит, что если дополнительный голос действительно изменяет результат выборов, то это может быть только на руку "ключевому" избирателю.
Теорема 2.2 (Мулен [1986с])
(a) Для всех правил голосования с подсчетом очков, когда при равенстве очков выбор осуществляется с помощью заданного порядка на А, выполняется аксиома участия.
(b) Если А состоит хотя бы из четырех кандидатов, то ни одно зажиточное по Кондорсу правило голосования не удовлетворяет аксиоме участия.
Непрерывность . Пусть избиратели из N1 избирают кандидата а из A, а группа N2, которая не пересекается из N1, избирает другого кандидата b. Тогда существует достаточно большое число m дублей группы избирателей N1, такое что комбинированная группа избирателей (mN1 )ÈN2 выберет а.
Теорема 2.3 (Янг [1975]).
Отображение голосования основано на методе подсчета очков (определение 2.3 без фиксации правила для случая равенства очков) тогда и только затем, когда оно удовлетворяет таким четырем свойствам:
анонимность, нейтральность
аксиома пополнения и непрерывность.
Голосование с последовательным исключением .
Сначала по правилу большинства исключается или а, или b, потом по правилу большинства проводится сравнение победителя первого раунда и с и так далее. В случае равенства проигрывает нижний кандидат.
В этом процессе поправок пусть а - поправка, b - поправка к поправке, с - исходное предложение, d - status quo.
Этот метод удовлетворяет аксиоме по Кондорсу: если а - победитель по Кондорсу, то он выигрывает. В действительности возможность при сравнениях по правилу большинства справедливая в более широком содержании.
Возможность по Смиту. Если множественное число А кандидатов разбивается на два подмножества В1, B2, что не пересекаются, и каждый кандидат b1 ÎВ 1 выигрывает (за суровым большинством) у любого кандидата b2 ÎВ 2 , то должен быть избран результат из В1.
С другой стороны, голосование при последовательном исключении очевидно не является нейтральным. Порядок исключений, конечно, влияет на результат.
Правило равномерного исключения. Сначала по правилу большинства выравниваются пары а из b и с из d. Победители встречаются в финале, где сравниваются по правилу большинства. В случае равенства выбирается кандидат, который идет раньше по алфавиту.
Это - опять зажиточный по Кондорсу метод. Более того, для избрания каждому кандидату х нужно победить в двух сравнениях по правилу большинства. Допустимо сначала, что равенства при сравнении с этими двумя кандидатами нет (х выигрывает для сурового большинства). Тогда х не может доминироваться по Парето некоторым кандидатом в, иначе b был бы победителем по Кондорсу. Следовательно, метод равномерного исключения выбирает оптимальный по Парето результат в случае, когда при бинарных выборах нет равенств. Однако если равенства возможны, то оптимум по Парето может нарушаться.
Бинарным деревом на А есть такое конечное дерево, в котором каждой нефинальной вершине (включая начальную) отвечают ровно две следующие, а каждой финальной вершине (у которой нет следующих) приписан кандидат (элемент из A), причем каждый кандидат появляется по крайней мере в одной финальной вершине.
Среди бинарных деревьев самыми простыми являются те, в которых каждый кандидат приписан ровно одной вершине. Назовем их деревьями без повторных исключений.
Лемма 2.1 (а) Если А состоит из трех кандидатов, то дерево после последовательного исключения является единственным безповторним деревом. Соответствующее правило голосования оптимально за Парето (при нашем условии, что все сравнения по большинства суровые). (b) Если А состоит из четырех кандидатов, то есть только два безповторних деревья: последовательное исключение и ривнобижне исключение. Первое из них нарушает оптимум за Парето, а последнее - нет. (c) Если А содержит пять или больше кандидатов, то любое исключение по безповторному дереву приводит к избранию кандидата для некоторых профилей, во что доминируется по Парето.
Существует бинарное дерево, определенное для произвольного количества участников, что позволяет избежать обеих этих опасностей. Соответствующие последовательные исключения порождают оптимальное по Парето, анонимное и монотонное правило голосования. Это дерево называется деревом многоэтапного исключения.
Для каждого конкретного упорядочения кандидатов существует по одному такому дереву. Обозначим через Гp (1,2,... ,р) дерево, которое отвечает порядку A={1,2...,р}. Определим его индуктивно по размеру А :
Да, для трех и четырех кандидатов получаем: