Из приведенных выше свойств бесконечно малых следует, что отношение бесконечной близости есть отношение эквивалентности. Это означает, что отношение бесконечно близости рефлексивно (каждое x бесконечно близко самому себе), симметрично (если x бесконено близко к y, то y бесконечно близко к x) и транзитивно (если x бесконено близко к y, а y бесконечно близко к z, то x бесконечно близко к z). Всякое отношение эквивалентности разбивает множество, на котором оно определено на непересекающиеся классы, причем любые два элемента одного класса эквивалентны, а любые два элемента разных классов не эквивалентны. В частности, наше отношение разбивает *R на непересекающиеся классы, причем элементы одного класса бесконечно близ­ки друг к другу, а элементы разных классов — нет. Классы, содержащие стандартные действительные числа, представляют собой упоминавшиеся выше «монады».

5. ПРИМЕР НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ

До сих пор речь шла о гипердействительной прямой (а точнее, любом неархимедовом расширении упоря­доченного поля действительных чисел). Возникает во­прос – существует ли хотя бы одно такое распшрение. Построим такое расширение.

Ос­новная идея этого построения может быть описана в од­ной фразе так: у нас нет объектов, но есть имена для них; так объявим же имена объектами! Эта (часто при­меняемая в математической логике) идея конкретизиру­ется в нашем случае следующим образом.

Мы знаем, что в нашем (пока еще не построенном и неизвестно существующем ли) расширении должно быть хотя бы одно бесконечно малое положительное гипердействительное число. Обозначим его через e. Поскольку гипердействительные числа можно умножать друг на дру­га (и, в частности, на действительные числа), то наряду с e в нашем расширении будут и числа 2e, 0,5e и во­обще все числа вида a e, где а – произвольное стандарт­ное действительное число. Более того, число e можно умножать и на себя, поэтому в нашем расширении бу­дут иметься e² , e³ , 2e² , Зe² +2e+1, ... и вообще все гипердействительные числа вида Р(e), где P – многочлен со стандартными действительными коэффициентами.

Множество чисел такого вида замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Это значит, что, складывая, вычитая или перемно­жая два числа такого вида, мы вновь получим число та­кого же вида. Но для гипердействительных чисел опре­делено еще и деление. Поэтому в расширении будут и числа вида Р(e)/Q(e), где P и Q – многочлены со стан­дартными действительными коэффициентами. После этого мы получаем множество гипердействптельных чисел, замкнутое относительно всех арифметических операций: складывая, вычитая, умножая или деля две дроби указанного вида по обычным правилам, получаем дробь та­кого же вида.

Таким образом, не имея пока искомого расширения, мы уже смогли назвать некоторые его элементы, дать им имена. Этими именами являются записи вида P(e)/Q(e), где e – некоторый символ. Более того, мы можем судить и о том, какая из двух записей обознача­ет большее число. В самом деле, достаточно уметь опре­делять, обозначает ли данная запись положительное, от­рицательное или нулевое число (поскольку а > b тогда и только тогда, когда a - b >0 ). Знак дроби можно определить по знакам числителя и знаменателя, следовательно достаточно уметь определять знак P(e), где Р – многочлен. Это делается так. Легко ви­деть, что знак величины