Курсовая работа: Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых
Пусть 
--- произвольная 
-замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп, 
--- несверхразрешимая группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда каждая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежит , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.
Доказательство. Предположим, что не 
-дисперсивна, где 
таково, что 
равносильно 
. Так как --- формация -дисперсивных групп, то, по лемме , лемма верна. Пусть теперь -дисперсивна. В этом случае лемма верна по лемме . Лемма доказана.
Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация сверхразрешимых групп, --- несверхразрешимая 
-группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда --- группа одного из следующих типов:
1) 
--- минимальная несверхразрешимая группа, у которой 
, 
;
2) , где , 
содержит такую абелеву подгруппу 
, нормальную в , что 
--- минимальная несверхразрешимая группа, являющаяся в максимальной подгруппой непростого индекса, подгруппа 
сверхразрешима, где 
--- любая максимальная подгруппа из 
;
3) 
, 
, --- минимальная нормальная подгруппа группы , подгруппа , где --- произвольная максимальная подгруппа из 
, является либо сверхразрешимой, либо минимальной не -группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;
4) , 
, где --- минимальная нормальная подгруппа группы , 
, подгруппа 
, 
является либо минимальной несверхразрешимой группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;
5) 
, 
, --- минимальная нормальная подгруппа из , 
--- абелева группа, 
и 
--- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппа 
либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, где --- произвольная максимальная подгруппа из ;
6) , 
, где 
, 
--- минимальные нормальные подгруппы группы , , 
--- минимальная несверхразрешимая группа;
7) , 
), где --- минимальная нормальная подгруппа группы , 
сверхразрешима, подгруппа 
, где --- произвольная максимальная подгруппа группы , либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) или 4) из данной теоремы;
8) 
, 
и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы 
, 
, 
, 
со следующими свойствами: , --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппы и принадлежат , где --- максимальная подгруппа из 
, 
--- максимальная подгруппа из ;
9) , 
и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы 
, 
, , 
со следующими свойствами: сверхразрешима, --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы, , где --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо 
и 
является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы, , где --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо 
и 
является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы.
Доказательство. По лемме, группа разрешима. Если группа не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа дисперсивна по Оре.
1. Рассмотрим вначале случай , где 
и 
--- различные простые числа. По лемме в группе любая -абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.
1.1. Пусть в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа 
. По лемме, 
является минимальной несверхразрешимой группой и 
--- абелева группа. Так как 
, то либо 
, либо 
. Если предположить, что , то 
и 
. Поэтому 
немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Отсюда, по теореме , 
. Противоречие. Значит, , 
и 
. Из того, что группа дисперсивна по Оре, и , следует, что 
. Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из 
. По условию, в существует -субнормальная подгруппа 
такая, что 
. Ясно, что 
и, значит, сверхразрешима. Следовательно, 
-субнормальна в и в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа 
сверхразрешима. Итак, в данном случае --- группа типа 2) из данной теоремы.
1.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, 
--- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .
Пусть вначале максимальна в . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу 
. Если -субнормальна в , то, по теореме , 
. Предположим, что не -субнормальна в . Тогда содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе 
из 
. Так как 
, то 
. Если 
, то, согласно лемме, --- минимальная не -группа. Пусть 
. Тогда 
и 
. Применяя теорему Машке, получаем, что 
и 
. Если 
, то 
. Противоречие. По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Если 
--- произвольная максимальная подгруппа из , то, ввиду леммы, -субнормальна в . Применяя теорему, получаем, что подгруппа 
. Значит, --- группа типа 2) из данной теоремы, а --- группа типа 3) из данной теоремы.
Пусть теперь немаксимальна в . Тогда, по лемме, содержится в качестве максимальной подгруппы в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Тогда группа представима в виде 
, где --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы имеет вид 
, где --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме , принадлежит формации . Получили, что группа --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что 
. Тогда, по теореме Машке , . Ввиду следующего равенства 
получаем противоречие с тем, что . Итак, --- группа типа 1) из данной теоремы. Если же 
, то группа имеет вид 
и 
. Так как максимальна в , то 
. Рассмотрим подгруппу 
. Если , то -субнормальна в . Учитывая, что дисперсивна по Оре, по теореме , получаем, что 
. Противоречие. Каждая собственная подгруппа из будет немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Если максимальна в , то --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае --- группа типа 4) из данной теоремы. Если предположить, что не максимальна в , то она содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе 
из . Получили, что и 
. Это значит, что 
. Противоречие с тем, что --- максимальная подгруппа в .
2. Рассмотрим случай , где , и 
--- различные простые числа. Согласно лемме, в группе
