В данной работе зависимость (1) будет доказываться на справедливость на основе статистических данных, а также будет использоваться в данной работе для построения модели, в которой возможно наличие автокорреляции.

1.2 Проблема автокорреляции: теория

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени. Автокорреляция чаще встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. В экономических задачах встречается как положительная автокорреляция ( ), так и отрицательная ().

Основными причинами вызывающими появление автокорреляцию считают ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей (вследствие цикличности), эффект паутины (причина – временные лаги), а также сглаживание данных.

Среди последствий автокорреляции обычно выделяют следующие:

· Оценки параметров перестают быть эффективными;

· Оценка дисперсии регрессии является смещённой;

· Дисперсии оценок являются смещёнными, что приводит к увеличению t-статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые на самом деле таковыми не являются;

· Ухудшаются прогнозные качества модели.

Так как последствия автокорреляции для качества модели велики, то важно выявить наличие автокорреляции, что делается с помощью нескольких тестов. Чаще всего используются такие тесты, как метод рядов, критерий Дарбина-Уотсона, тест Бреуша-Годфри, Q-статистика, h-статистика.

Глава 2. Построение регрессионной модели и её анализ на проблему автокорреляции

Поскольку в данной работе при построении уравнения регрессии будут использоваться временные ряды, так как в них чаще встречается проблема автокорреляции, а не перекрёстные данные, то перед построением модели следует проверить ряды на стационарность.

Как видно из Рис.1 Приложения 1 все ряды исследуемых показателей не имеют постоянного математического ожидания, но имеют восходящий линейный тренд, из чего возможно сделать предварительный вывод о том, что ряды будут стационарными относительного тренда.

Для более глубокого анализа рядов на стационарность используются коррелограммы рядов, а также тесты «единичного корня». В данной работе будет рассмотрен тест Дики-Фуллера.

Очевидно, что все три ряда являются нестационарными, что можно определить по характерному рисунку «убывающей экспоненты» на графике автокорреляционной функции, а также первый выступающий лаг на графике частной автокорреляционной функции. Следовательно, проверку исходных рядов на стационарность следует дополнить тестом Дики-Фуллера. Результаты приведены ниже:

ADF Test Statistic	-20.99004		1% Critical Value*						-4.2412
			5% Critical Value						-3.5426
			10% Critical Value						-3.2032
Dependent Variable: D(IG)
Method: Least Squares
Included observations: 35 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient			Std. Error		t-Statistic			Prob.
D(IG(-1))	-2.200495			0.104835		-20.99004			0.0000
@TREND(1999:1)	9.663892			2.439289		3.961766			0.0004
Durbin-Watson stat	2.352758			Prob(F-statistic)					0.000000
ADF Test Statistic	-5.278444			1% Critical Value*					-4.2412
				5% Critical Value					-3.5426
				10% Critical Value					-3.2032
Dependent Variable: D(CONS)
Method: Least Squares
Included observations: 35 after adjusting endpoints
Variable	Coefficient			Std. Error		t-Statistic			Prob.
D(CONS(-1))	-1.636006			0.309941		-5.278444			0.0000
@TREND(1999:1)	12.54844			3.021702		4.152773			0.0002
Durbin-Watson stat	2.101394			Prob(F-statistic)					0.000000
ADF Test Statistic		-9.618956			1% Critical Value*			-4.2412
					5% Critical Value			-3.5426
					10% Critical Value			-3.2032
Dependent Variable: D(GDP)
Method: Least Squares
Included observations: 35 after adjusting endpoints
Variable		Coefficient			Std. Error		t-Statistic			Prob.
D(GDP(-1))		-2.088636			0.217137		-9.618956			0.0000
@TREND(1999:1)		26.31412			6.414595		4.102226			0.0003
Durbin-Watson stat		2.486933			Prob(F-statistic)					0.000000

При помощи коррелограммы первых разностей данных всех трёх рядов обнаруживается, что необходимо ввести один лаг для всех рядов во вспомогательное уравнение теста. И после того, как был проведён тест Дики-Фуллера, выяснилось, что ряды интегрированы первого порядка или стационарны в первых разностях со спецификацией тренда и одним лагом.

Однако ряды IG и GDP имеют чётко видную сезонность, что видно на Рисунке 1 Приложения 1, поэтому для них дополнительного проводится тест Филипса-Перрона, данные которого находятся в Приложении 2.

Имеем:

- ряды нестационарны в уровнях, но стационарны в первых разностях;

- по имеющимся данным можно строить модель множественной классической линейной регрессии.

По предварительному анализу, можно сказать, что модель, которая будет построена, возможно, будет обладать проблемой автокорреляции вследствие цикличности показателей, используемых для построения уравнения регрессии. ВВП имеет дело с волнообразностью деловой активности, которая при построении модели может служить причиной автокорреляции.

Строим уравнение регрессии:

Dependent Variable: GDP
Method: Least Squares
Date: 12/11/08 Time: 16:34
Sample: 1999:1 2008:2
Included observations: 38
GDP=C(1)+C(2)*Cons+C(3)*IG
Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C(1)	90.71828	36.69767	2.472045	0.0184
C(2)	0.875856	0.076378	11.46745	0.0000
C(3)	1.190895	0.030510	39.03232	0.0000
R-squared	0.998324	Mean dependent var		4283.858
Adjusted R-squared	0.998228	S.D. dependent var		2609.517
S.E. of regression	109.8386	Akaike info criterion		12.31156
Sum squared resid	422257.9	Schwarz criterion		12.44084
Log likelihood	-230.9196	Durbin-Watson stat		0.589082

Уравнение регрессии выглядит следующим образом:

GDP=90.71828168+0.8758556601 Cons +1.190895181 IG (2)

После округления оно будет иметь следующий вид:

(3)

Построенная модель имеет очень высокий коэффициент детерминации, что говорит о высоком качестве этой модели. Высокие значения имеют t-статистики, соответственно все объясняющие переменные данной модели значимы. Верны и коэффициенты при переменных, то есть они имеют верный знак и значение близкое к теоретическому уравнению (1). Высокое значение коэффициента С(1) и его статистическая значимость с экономической точки зрения может говорить о том, что в модель включено недостаточно переменных, что позже будет исправлено. Поэтому, прежде чем делать выводы о качестве и адекватности, следует проверить построенную модель на автокорреляцию и гетероскедастичность.

По статистике Дарбина-Уотсона уравнение имеет автокорреляцию, положительную (d1=1,373, du=1,594), откуда можно сделать вывод о наличии автокорреляции.

На проблему гетероскедастичности исследуем модель при помощи теста Вайта(nocross, cross):

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	1.926499	Probability		0.129239
Obs*R-squared	7.193728	Probability		0.125998
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 12/11/08 Time: 19:18
Sample: 1999:1 2008:2
Included observations: 38
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-7329.568	8035.888	-0.912104	0.3683
IG	-10.79329	22.84694	-0.472417	0.6397
IG^2	0.000343	0.007396	0.046398	0.9633
CONS	14.94592	10.01542	1.492291	0.1451
CONS^2	-0.001335	0.001299	-1.028002	0.3114
R-squared	0.189309	Mean dependent var		11112.05
Adjusted R-squared	0.091043	S.D. dependent var		13500.26
S.E. of regression	12871.05	Akaike info criterion		21.88543
Sum squared resid	5.47E+09	Schwarz criterion		22.10090
Log likelihood	-410.8231	F-statistic		1.926499
Durbin-Watson stat	1.289207	Prob(F-statistic)		0.129239
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic		1.910945	Probability		0.120009
Obs*R-squared		8.737384	Probability		0.120009
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 12/11/08 Time: 19:20
Sample: 1999:1 2008:2
Included observations: 38
Variable		Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C		-4788.651	8190.315	-0.584672	0.5629
IG		10.01788	27.71085	0.361515	0.7201
IG^2		0.043812	0.034248	1.279250	0.2100
IG*CONS		-0.034393	0.026471	-1.299253	0.2031
CONS		5.948824	12.09186	0.491969	0.6261
CONS^2		0.005437	0.005368	1.012743	0.3188
R-squared		0.229931	Mean dependent var		11112.05
Adjusted R-squared		0.109608	S.D. dependent var		13500.26
S.E. of regression		12738.93	Akaike info criterion		21.88665
Sum squared resid		5.19E+09	Schwarz criterion		22.14522
Log likelihood		-409.8464	F-statistic		1.910945
Durbin-Watson stat		1.168906	Prob(F-statistic)		0.120009

Для трактовки этого теста используем «Obs*R-squared», которое сравниваем с соответствующим критическим значением распределения со степенями свобод равным количеству переменных в модели, то есть двум. Как и в тесте crossterms, так и в nocrossterms наблюдаемое значение оказывается меньше критического при уровнях значимости ,01 и ,005, из чего следует вывод об отсутствии гетероскедастичности в построенной модели.

Проблему автокорреляции исследуем далее при помощи теста Бреуша-Годфри и Q-статистики Бокса-Льюнга. Результаты этих тестов представлены ниже: