Курсовая работа: Применение алгебры высказываний в информатике

Высказывание – это любое утверждение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно, т. е. соответствует оно действительности или нет. Таким образом высказывания являются двоичными объектами, и поэтому истинному значению высказывания ставят в соответствии 1, а ложному – 0.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простые соответствуют алгебраическим переменным, а сложные являются аналогом алгебраических функций.

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе, операция ИЛИ, операция дизъюнкции) и логического умножения (иначе, операция И, операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или \/, а логического умножения – символы * или /\. Составное высказывание, образованное в результате операции логического сложения, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний. Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий.

В частности, для алгебры логики выполняются законы:

1) сочетательный:

(a + b) + c = a + (b + c);

(a * b) * c = a * (b * c);

2) переместительный:

a + b = b + a;

a *b = b * a;

3) распределительный:

a * (b + c)=a * b + a * c;

a + b * c = a * b + a * c.

Справедливы соотношения:

а + а = а;

а * а = а;

a + a * b = a;

a + b = a, еслиa >= b;

a + b = b, еслиa < =b;

a * b = a, еслиa < =b;

a + b = b, еслиa >=b ит.д.

Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом – 1.

В алгебре логики также вводится ещё одна операция – операция отрицания (иначе, операция НЕ, операция инверсии), обозначаемая чертой над элементом. Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным, и, наоборот, ложное – истинным.

По определению: a + a = 1, a * a = 0, 0 = 1, 1 = 0.

Справедливы такие соотношения: a = a, a + b = a * b, a * b = a + b.

Существует шесть вариантов отношений:

1. = равно

2. <> не равно