Курсовая работа: Програмування в Delphi

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + ... + а_{1 n} х_n = а_{1, n +1 ,} (1.1)

а₂₁ х₁ + а₂₂ x₂ + …+ а_{2 n} х_n =a_{2, n +1,}

а_{n 1} х₁ + а _{n 2} x₂ + ...+ а_nn x_n = a_{n , n +1,}

де х_k — невідомі величини; а _ij — задані елементи розширеної матриці системи рівнянь. Для розв’язку СЛАР приміняють два класи методів: прямі та ітераційні. Прямі методи універсальні і приміняються до розв’язку систем невисокого порядку (n< 200). Ітераційні методи зручно використовувати для СЛАР високого порядку з слабо заповненими матрицями.

Метод Гаусса відноситься до прямих методів. Алгоритм методів складається з двох етапів. Перший етап називається прямим ходом і заключається у послідовному виключенні невідомих з рівнянь, починаючи з х₁ .

З першого рівняння системи(1.1) виражаємо невідоме х₁ :

х₁ = (а_{1, n +1} - а₁₂ х₂ - ... -а_{1 n} х_n )/а₁₁ , (1.2)

що можливе при а₁₁ ≠ 0, в іншому випадку потрібно виконати перестановку рівнянь системи. Згідно формулі (1.2) потрібно кожен елемент першого рядка розширеної матриці СЛАР поділити на діагональний елемент

а_{1 j} ⁽¹⁾ = a_{1 j} /a₁₁ . (1.3)

Потім підставляємо вираз (1.2) у всі рівняння системи, тим самим відкидаємо х₁ із всіх рівнянь, крім першого. Елементи розширеної матриці перетворюємо по формулі

a_{i j} ⁽¹⁾ = а_{i j} –а_{i 1} а_{1 j} ⁽¹⁾ ,

i = 2, 3, ..., n; j = 1, 2, ..., n+1. (1.4)

У результаті виключення першого невідомого х₁ із всіх рівнянь, всі елементи першого стовпчика перетворення матриці будуть рівні нулю, крім а₁₁ ⁽¹⁾ =1.

Невідоме х₂ виражаємо із другого рівняння системи і виключаємо із останніх рівнянь і т.д. В результаті отримуємо СЛАР з верхньою трикутною матрицею, у якої всі елементи нижче головної діагоналі рівні нулю.

Запишем вирази для невідомих х_k і перетворення елементів розширеної матриці системи, згідно формулам (1.2) – (1.4):

x_k = (а_{k , n +1} -∑ а_{k j} х_j )/а _kk , (1.5)

а_kj ^{( m +1)} = а_kj ^{( m )} / а _kk ^{( m )} ,

а _{i j} ^{( m +1)} = а _{i j} ^{( m )} - а _{i k} ^{( m )} а _kj ^{( m )} .

Другий етап розв’язку СЛАР називається зворотнім ходом методу Гаусса і полягає в послідовному визначенні невідомих х _k за першою формулою (1.5), починаючи з невідомого х _n і закінчуючи х₁ .

Точність результатів буде визначатися точністю виконання арифметичних операцій при перетворенні елементів матриці. Для зменшення похибки при діленні на діагональний елемент (друга формула (1.5)) рекомендується виконати таку перестановку рівнянь, щоб поставити на діагональ найбільший по модулю із всі