Курсовая работа: Разработка программы для решения систем линейных уравнений

Курсовая работа носит учебный характер. В ходе её программист реализовал имеющиеся знания из курса линейной алгебры по решению СЛАУ в программной интерпретации на языке программирования С. А знание компьютера и наличие опыта в программировании в наше время особенно приветствуется в фирмах, работающих в сфере информационных технологий.

1 Анализ задания и выбор метода решения

1.1 Анализ задания

В соответствии с заданием на курсовую работу необходимо разработать программу для решения СЛАУ методом простых итераций и методом Зейделя. Предусмотреть ввод числа уравнений, матрицы коэффициентов и вектора свободных членов, а также вывод вектора решений на экран.

Для удобства тестирования программа должна обладать понятным и логичным интерфейсом, рассчитанным на неопытного пользователя.

1.2 Выбор метода решения

В соответствии с заданием на курсовую работу в программе реализованы итерационные методы: простых итераций и Зейделя.

Пусть ищется решение невырожденной системы уравнений[1]

.

(1)

Первым шагом в итерационном методе является преобразование исходной системы к виду[1]

,

(2)

где матрицы С, В и вектор d определяются по матрицы А и вектору b. Причём системы (1) и (2) являются эквивалентными, т.е. их решения совпадают, а построение обратной матрицы С-1 проще, чем А-1. [1]

Вторым шагом является расстановка индексов или номеров приближений в (2) и задание нулевого приближения. Например,

(3)

где - заданный вектор [1]

Третьим шагом итерационного метода является обоснование сходимости последовательных приближений , полученных из (3), к точному решению х системы и оценка погрешности k-го приближения[1]

(4)

Оценка (4) при заданном позволяет остановить итерационный про-цесс (3). [1]

Различные итерационные методы отличаются первыми двумя шагами, а выбор конкретного метода должен производиться на основании оценки(4). [1]

1.2.1 Метод простых итераций

В методе простых итераций матрица С (2) выбирается единичной: С=Е. Итерационный процесс описывается формулой

(5)

где - заданный вектор. [1]

1.2.2 Метод Зейделя

Отличие метода Зейделя от простой итерации состоит лишь в том, что при вычислении (k+1)-го приближения полученные компоненты вектора сразу же используются в вычислениях. В матричной записи это можно представить так:

где матрицы U и L получены разложением В в сумму:

матрица U – верхняя треугольная часть B, включая диагональ; L – нижняя поддиагональная часть В. [1]