Курсовая работа: Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы 2
Система вида a11 x1 +a12 x2 +.....+a1 n xn =b1
a21 x1 +a22 x2 +.....+a2n xn =b2
. . . . . . . . . . .
am1 x1 +am2 x2 +.....+amn xn =bm
где aij (i изменяется от 1 до m; j – от 1 до n) – коэффициенты при неизвестных x1 , x2 ,…., xn , bi (i изменяется от 1 до m) – свободные члены, называется системой линейных уравнений.
Теперь непосредственно перейдём к методу Крамера.
Рассмотрим систему вида
a11 x1 +a12 x2 +.....+a1 n xn =b1
a21 x1 +a22 x2 +.....+a2n xn =b2
. . . . . . . . . . .
am1 x1 +am2 x2 +.....+amn xn =bm
Назовём данную систему “система 1”.
Умножим 1-е уравнение системы 1 на А11 . Умножим 2-е уравнение системы 1 на А21 . Умножим n-е уравнение системы 1 на Аn 1 . Сложим полученные уравнения:
(a11 А11 +a21 А21 +….+an1 Аn1 )x1 +(a12 А12 +a22 А21 +....+an1 Аn1 )x1 +....+(a1n А11 +a2n А21 + +....+ann Аn1 )xn =b1 А11 +b2 А21 +....+bn Аn1
detAx1 =detA1 ,
где A1 – матрица, полученная из матрицы А заменой 1-го столбца столбцом свободных членов.
detAx2 =detA2 ,
где A2 – матрица, полученная из матрицы А заменой 2-го столбца столбцом свободных членов.
detAxn =detAn ,
где An – матрица, полученная из матрицы А заменой n-го столбца столбцом свободных членов.
Если обозначимΔ=detA, то получим
Δ x1 =Δ1
Δ x2 =Δ2
. . . .
Δ xn =Δn
где Δi – определитель, полученный из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов системы 1.
Назовём данную систему “система 2”.
Рассмотрим 3 случая:
1) Если в системе 2 Δ≠0, то x1 =Δ1 /Δ, x2 =Δ2 /Δ, ….. , xn =Δn /Δ. Полученные формулы называются формулами Крамера.