Курсовая работа: Розв’язання задач лінійного програмування

Лінійне програмування є найбільш часто використовуваним методом оптимізації. До завдань лінійного програмування можна віднести:

- раціональне використання сировини і матеріалів;

- завдання оптимального розкрою;

-оптимізації виробничої програми підприємств;

-оптимального розміщення і концентрації виробництва;

-складання оптимального плану перевезень, роботи транспорту;

-управління виробничими запасами і ін.

Для великої кількості практично цікавих завдань цільова функція виражається лінійно – через характеристики плану, причому допустимі значення параметрів підпорядковані лінійній рівності або нерівностям. Знаходження за даних умов абсолютного екстремуму цільової функції носить назву лінійного програмування.

Першим дослідженням по лінійному програмуванню є робота Л. В. Кантфовіча “Математичні методи організації і планування виробництва”, яке було опубліковане в 1939 р. У ньому розміщена постановка завдань лінійного програмування, розроблений метод результуючих множників вирішення завдань лінійного програмування і дано його теоретичне обґрунтування.

Головна мета лінійного програмування є математичне формулювання проблеми складання такого плану використання різних способів виробництва, який дозволяє отримати максимальну кількість однорідного продукту при ресурсах, що є в наявності.

1 Опис існуючих методів розв’язку задач лінійного програмування

Лінійне програмування розв’язує велику кількість задач з різними типами обмежень. Тому їх можна розв’язати різними методами. Розглянемо їх принцип.

1.1 Постановка задачі

Методи лінійного програмування - чисельні методи вирішення оптимізаційних задач, що зводяться до формальних моделей лінійного програмування[1].

Як відомо, будь-яке завдання лінійного програмування може бути приведене до канонічної моделі мінімізації лінійної цільової функції з лінійними обмеженнями типу рівності. Оскільки число змінних в завданні лінійного програмування більше числа обмежень (), то можна отримати рішення, прирівнявши нулю () змінних, які називаються вільними. Решта m змінних, які називаються базисними, можна легко визначити з системи обмежень звичайними методами лінійної алгебри. Якщо рішення існує, то воно називається базисним. Якщо задача лінійного програмування має оптимальні рішення, то хоча б один із них є базисним.

Приведені міркування означають, що при пошуку оптимального рішення задачі лінійного програмування досить обмежитися перебором базисних допустимих рішень. Те, що не всі базисні рішення є допустимими, істотно проблеми не міняє, оскільки щоб оцінити допустимість базисного рішення, його необхідно отримати.

В загальному постановка задачі має вигляд:

Нехай маємо деякі змінні і функцію цих змінних, яка називається цільовою функцією. Потрібно найти екстремум (максимум чи мінімум) цільової функціїпри умові,що змінні належать деякій області :

(1.1.1)

В залежності від виду функції і області G розрізняють розділи математичного програмування: квадратичне програмування, випукле і ін.

Лінійне програмування характеризується тим, що функція і лінійною функцією змінних і область G визначається системою лінійних рівнянь чи нерівностей.

1.2 Графічний метод

Якщо модель містить тільки дві змінні, задачу можна розв’язати графічно. У випадку трьох змінних графічний розв’язок стає менш наочним, а при більшому числі змінних - взагалі неможливим. Незважаючи на це, розгляд графічного методу дасть змогу зробити висновки, що послужать основою для розробки загального методу розв’язання задач лінійного програмування[2].

Перший крок при використанні графічного методу полягає в поданні області допустимих розв’язків, у якій водночас задовольняються всі обмеження моделі. Нехай шукана область (простір) розв’язків задачі показана. Умови невід’ємності змінних обмежують область їх допустимих значень. Інші межі простору розв’язків потрібно зобразити прямими лініями, побудованими по рівняннях, що отримані заміною знака «≤» чи «≥» знаком “=" в обмеженнях. Області, в яких відповідні обмеження виконуються як нерівності, указуються стрілками, спрямованими вбік допустимих значень змінних. Отримуємо простір розв’язків задачі. У кожній точці, що належить внутрішній області або межам, всі обмеження виконуються, тому розв’язки, що відповідають цим точкам, є допустимими. Серед безкінечного числа таких точок можна знайти точку оптимального розв’язку, якщо з'ясувати, в якому напрямку зростає цільова функція. На графік наносять лінію рівня цільової функції , де - довільне значення . Будують вектор , що є нормаллю до ліній рівня цільової функції й визначає напрямок оптимізації . Лінію рівня зрушують паралельно самій собі вздовж вектора доти, поки вона не вийде за межі області допустимих розв’язків. Остання точка цієї області й буде точкою оптимуму.

Значення та в розв’язуючій точці визначаються шляхом розв’язання системи рівнянь.

Зазначимо, що у випадку, коли лінії рівня мають такий самий нахил, як пряма зв’язуючого обмеження (тобто такого, що проходить через оптимальну точку), матимемо безліч оптимумів на відрізку.

Графічний спосіб розв'язування ґрунтується на геометричній інтерпретації задачі лінійного програмування, тому він досить простий для розуміння. Недоліком є те, що графічним способом можна розв’язати задачу, в якій в обмеженнях є лише дві змінні, потрібно намагатися малювати лінії з найбільшою точністю, в протилежному випадку можна отримати велику похибку, а в результаті неправильне рішення.

1.3 Симплекс-метод

Симплекс-метод застосовується до рішення будь-якої задачі лінійного програмування[3].