Курсовая работа: Теорема Нётер

Учитывая, что

,

получим:

(15)

Но

(16)

Найдем дифференциал

,

отсюда

(17)

Подставив (17) в (16), получим:

Под знаком первой суммы стоит уравнение Лагранжа, т.е.

Тогда имеем:

(18)

Подставим полученное значение вариации функции Лагранжа в (15), имеем:

Из (10) выразим через и :

Тогда вариация действия

(19)

Мы должны потребовать равенства этой вариации нулю. В силу произвольности области интегрирования Т из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегрального выражения, т.е. мы приходим к тому, что необходимым и достаточным условием инвариантности действия относительно преобразования (7) служит удовлетворение уравнения

.

Заменим и , используя соотношения (7) и (8), имеем:

Вынесем l за скобки и разделим на нее обе части уравнения. Окончательно получим необходимое условие:

(20)