Пусть радиус круга равен r, тогда длина окружности равна 2πr . Если период обращения планеты равен Т, то постоянная величина скорости v выражается так:

.

В каком направлении должна действовать сила на планету Р , чтобы она двигалась по окружности? Утверждать, что сила действует в направлении движения, значит, впадать в ту же ошибку, что Аристотель и его последователи. Сила связана не со скоростью, а с ускорением. А ускорение точки Р направлено к центру S и равно по величине v² /r (см. гл. 1). Поэтому сила F, действующая на планету, направлена к центру и вычисляется по второму закону Ньютона: сила равна произведению массы на ускорение, или

Поскольку v = 2πr/T, имеем

.

Воспользуемся теперь третьим законом Кеплера, который гласит, что Т² пропорционально r³ , т.е.

T² = kr³ ,

где k - некоторое постоянное число. Подставляя T² в выражение для силы F, получаем

Отсюда следует, что сила, действующая на планету Р, уменьшается обратно пропорционально квадрату ее расстояния от солнца.

Рисунок 1.6. Если б гравитационное взаимодействие исчезло, то Луна полетела бы по прямой (касательной к кругу).

Закон тяготения описывает не только движение планет вокруг Солнца, но и движение Луны вокруг Земли, а также движение других спутников вокруг своих планет. Поначалу может показаться удивительным, что один и тот же закон управляет и падением яблока, и движением Луны. Внимательно изучив рис. 1.6, нетрудно понять, что Луна (как и яблоко) тоже падает на Землю, но только непрерывно. Пусть Луна М движется по окружности с центром в Земле Е. Вообразим, что сила притяжения Земли вдруг по волшебству исчезает. Как показано на рис. 1.6, Луна будет тогда двигаться вдоль штриховой прямой с постоянной скоростью - ведь никакая сила на нее не действует (первый закон Ньютона)! Сравним этот путь с фактической круговой траекторией Луны вокруг Земли. Предоставленная себе самой. Луна, естественно, стремилась бы улететь вдоль штриховой прямой, но Земля постоянно “тащит” Луну к себе. Поэтому можно рассматривать движение Луны как непрерывное падение на Землю. Правда, обладая поперечной скоростью, она никогда не достигает Земли, а смещается перпендикулярно прямой Земля-Луна.

КТО ПЕРВЫМ ЗАДУМАЛСЯ О ГРАВИТАЦИИ?

Ньютон не был первым, кто задумался о гравитации. Еще в XV в. некоторым астрономам приходила в голову мысль о существовании притяжения между небесными телами и Землей. Утверждалось, что Земля притягивается во всех направлениях “магнетическими” силами, но, поскольку эти силы во всех направлениях одинаковы. Земля остается в покое.

У. Гильберт в 1600 г., И. Буйяр в книге “Astronomia Philolaica”, опубликованной в 1645 г., и А. Борелли в 1666 г., по-видимому, были в общем недалеки от ньютоновского закона всемирного тяготения, как и Кеплер, который даже однажды рассматривал закон обратной пропорциональности квадрату расстояния, но отверг его.

Легенда о яблоке приписывает Ньютону открытие гравитации в 1666 г., хотя первая его публикация о ней, трактат “Propositions de Motu”, был прочитан в Королевском обществе в феврале 1685 г., а сами “Начала” были изданы в 1687 г. Между тем в 1674 г. Роберт Гук опубликовал свою работу, в которой движение Земли вокруг Солнца описывалось при помощи закона притяжения, которое убывало с расстоянием. Рассказывают, будто Гук сообщил о своих идеях Ньютону, который независимо пришел к похожим выводам.

Почему Ньютон ждал так долго, почти два десятилетия, прежде чем опубликовал свои результаты? В нынешнюю эпоху в науке, для которой подходит лозунг “публикуй или погибай” и скоропалительная публикация полусырых результатов - довольно распространенное явление, понять сдержанность Ньютона еще труднее.

Утверждают, что Ньютон был педантом и хотел повременить до тех пор, пока не разберется с некоторыми проблемами, связанными с его теорией. Одной из этих проблем была необходимость математически доказать, что сферическое тело притягивает другие тела так, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре . Другая проблема была связана с наблюдениями. По-видимому, Ньютон хотел дождаться появления надежных измерений расстояний в системе Земля — Солнце - Луна, чтобы проверить правильность своей теории. Они появились в конце 1670-х годов. Только тогда Ньютон почувствовал уверенность в своем законе тяготения.

Дискуссия о том, почему выжидал Ньютон, и какое место следует отвести Гуку, еще продолжается. Однако в окончательном ее итоге сомнений нет. Честь расчета планетных орбит на основе законов движения и гравитации принадлежит Ньютону. Никто из его современников не обладал такими математическими познаниями и общим кругозором, чтобы проделать подобные вычисления.

Неприязнь Ньютона к полемике и его сдержанность отражены в его письме к Эдмунду Галлею при передаче книги II “Начал” для публикации. К тому времени книга 1 “Начал” была уже издана, и Гук высказал претензии на приоритет в установлении закона тяготения. Галлей выступал в этом споре посредником. Имея в виду книгу III (которая должна была последовать за книгой II), Ньютон писал: “Третью я теперь намереваюсь изъять. Философия - столь наглая сутяжница, что иметь дело с этой леди-все равно что таскаться по судам.” Однако, к счастью для потомков, Галлею удалось убедить Ньютона изменить свое решение.

УСПЕХИ ЗАКОНА ТЯГОТЕНИЯ

Оставив в стороне споры о том, кому принадлежит приоритет в открытии закона тяготения, сделаем обзор некоторых его достижений. Из закона тяготения следовало мгновенное действие на расстоянии. Сила тяготения между Солнцем и Землей мгновенно передается на расстояние 150 млн. километров. Как это происходит? Почему притяжение уменьшается по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния? Подобные вопросы волновали современников и последователей Ньютона. Говорят, что, когда эти вопросы задали Ньютону, он ответил: “Non fingo hypotheses” (“Гипотез не измышляю”). Ньютон придавал большее значение адекватности описания наблюдений при помощи своего закона, чем глубоким вопросам о таинственных явлениях природы, приводящих к этому закону.

И в самом деле, именно успехи, достигнутые при помощи закона Ньютона, обеспечили ему такое твердое положение в постньютоновской физике. Благодаря достижениям закона всемирного тяготения неприятные и трудные вопросы “как?” и “почему?” отодвинулись на задний план. Рассмотрим некоторые из этих триумфальных результатов.

Рисунок 1.7. Примеры орбит планеты и кометы

Первый пример-комета Галлея, как и планеты, эта комета движется по орбите под действием солнечного тяготения. Но в отличие от орбит планет ее орбита чрезвычайно вытянута. Если мы вновь обратимся к процедуре построения эллипса, то увидим, что эллипс получается сильно вытянутым, когда расстояние между фокусами S и S' почти равно (но все же меньше чем) 1а. Примеры орбит кометы и планеты приведены на рис. 1.7.

Поскольку комета движется по такой орбите, она появляется в окрестностях Солнца через большие промежутки времени. Однако, если только на орбиту кометы (которая достигает отдаленных областей Солнечной системы) не повлияет планета, например Юпитер, ее появления вблизи Солнца будут периодически повторяться.

Эдмунд Галлей, современник и друг Ньютона, обратил внимание на такую периодичность у кометы, наблюдавшейся в 1682 г. Галлей утверждал, что та же самая комета появлялась и ранее в 1456, 1531 и 1607 гг., т. е. с постоянным периодом, несколько превышающим 75 лет. Галлей предсказал, что ее можно будет наблюдать снова в 1758 г. Предсказание сбылось, хотя Галлей и не дожил до этого события. Очередное возвращение кометы Галлея приходится на наше время-1985-1986 гг.

Пожалуй, никто так не способствовал утверждению закона тяготения, как французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827). Пятитомный труд Лапласа “Небесная механика”, публиковавшийся с 1799 по 1825 г., сравнивали по влияниюна современную астрономию с “Альмаге-стом” Птолемея. В этой работе при помощи новейших математических методов того времени Лаплас рассчитал движение планет и их спутников под действием взаимного тяготения. Эта задача исключительно сложна, если учитывать все взаимодействия между 18 (известными тогда) телами Солнечной системы. Столкнувшись с такой задачей в наши дни, физик немедленно перепоручил бы все ЭВМ. Успехи, достигнутые Лапласом в решении этой гигантской задачи, и согласие его расчетов с наблюдениями планет и спутников убедили даже скептиков в справедливости закона тяготения Ньютона. Рассказывают, что когда Наполеон спросил Лапласа, почему в его книге не упоминается бог, он ответил: “Эта гипотеза мне не понадобилась”.

Следующую победу теория Ньютона одержала в 1845 г., когда с ее помощью была открыта новая планета. К этому открытию независимо пришли два астронома - Адаме в Англии и Леверье во Франции. Их работы были связаны с отклонениями, обнаруженными в орбите Урана, самой далекой из известных тогда планет Солнечной системы, от расчетной орбиты. Уран явно отклонялся от эллиптической орбиты, предсказанной теорией Ньютона. Адаме и Леверье независимо пришли к заключению, что отклонения вызваны наличием поблизости еще одной планеты; гравитационное притяжение этой неизвестной планеты и порождало возмущения орбиты Урана. Обоим астрономам удалось вычислить положение этой планеты. Чаллис и Эйри, ведущие астрономы-наблюдатели Англии, не придали значения предложениям Адамса, зато Галле из Берлинской обсерватории серьезно отнесся к работе Леверье и действительно открыл новую планету-Нептун. История с Нептуном подтверждает, что если научная теория развивается в правильном направлении, то даже расхождения с ее предсказаниями могут вести к новым научным открытиям.

В этих трех примерах речь шла о естественных телах Солнечной системы; четвертый и последний наш пример связан с искусственными спутниками и космическими аппаратами. Движение этих объектов: полет первого советского искусственного спутника Земли, экспедиция “Аполлона-11” на Луну и полеты “Викингов”, “Пионеров” и других космических аппаратов к планетам Солнечной системы - подчиняется закону тяготения, который сформулировал Ньютон три столетия назад .

Так, например, в путешествии “Аполлона-11” с Земли на Луну (и обратно!) приходилось учитывать следующие движения. Во-первых, движение Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли. Здесь мы имеем дело с “задачей трех тел”, когда каждое тело движется под действием тяготения двух других. Во-вторых, полет космического аппарата с Земли на Луну, который определяется гравитационным воздействием на него Земли и Луны. Расчет правильной траектории весьма сложен и может быть успешно проведен лишь на ЭВМ.

Точность, с которой осуществляются космические полеты в наши дни, можно считать триумфом современной техники Она же служит подтверждением закона тяготения, открытию которого якобы помогло падающее яблоко. Поэтому мы уже увереннее можем перейти к еще более ярким проявлениям гравитации в астрономии.

Всемирное тяготение

Созданная Ньютоном теория движения небесных тел, основанная на законе всемирного тяготения, была признана крупнейшими английскими учёными того времени и резко отрицательно встречена на европейском континенте. Противниками взглядов Ньютона (в частности, в вопросе о тяготении) были картезианцы, воззрения которых господствовали в Европе, особенно во Франции, в первой половине XVIII в.

Убедительным доводом в пользу теории Ньютона явилось обнаружение рассчитанной им приплюснутости земного шара у полюсов - и это вместо выпуклостей, ожидавшихся по учению Декарта!