2) найти набор Ω, для которого

∑x_i ·c(x_i )=min

при P(Ω)≥P_з ,

где P(Ω) – апостериорная вероятность работоспособного состояния объекта контроля при положительном исходе контроля выбранных параметров WÍS; с(x_i ) – затраты на контроль i-го параметра; Р_з – требуемая достоверность контроля; С – ограничение на общую стоимость контроля.

Значение P(Ω) зависит от принятых допущений и может быть найдено по формуле Байеса. Так, если предполагать в изделии наличие лишь одного отказа, то

P(Ω)=Р₀ /1-∑Р_i ,

iЄR(Ω)

где Р₀ =∏(1-р_i ) – априорная вероятность безотказной работы объекта:

iЄR(S)

Р₀ =1-∑Р_i ;

iЄR(S)

Р_i - нормированная вероятность отказа системы из-за отказа i-го элемента:

Р_i =(p_i /(1-p_i ))/(1+∑ p_k /(1-p_k );

kЄR(S)

p_i – априорная вероятность отказа i-го элемента. Тогда вероятность того, что отказ будет обнаружен при проверке k-го параметра, можно вычислить по формуле:

Q_k =∑P_k

kЄR(x_k )

При возможности наличия в ОК произвольного числа отказов

P(Ω)=∏(1-p_i )/∏(1-p_i )

iЄR(S) iЄR(Ω)

Можно использовать простой перебор вариантов, однако возникающие при этом вычислительные трудности не позволяют сделать этого даже для простых систем (при n>10). В связи с этим комплектование набора будем трактовать как многошаговый процесс, состоящий из последовательного выбора отдельных параметров.

В соответствии с общим принципом оптимальности разобьем весь имеющийся ресурс стоимости С на С отрезков единичной длины. (В практических случаях заданные положительные величины с(x_i ) и С можно считать всегда целыми. Если это не так, то необходимо перейти к более мелким стоимостным единицам в зависимости от разрядности дробной части.). Рассмотрим наряду с интересующей нас исходной задачей множество аналогичных задач

f(Y)=max λ(x), Y Є [0,C],

xЄX_Y

где через X_Y обозначено множество неотрицательных целочисленных векторов Ω, отвечающих наборам, в которых общая стоимость проверки параметров не превосходит величины Υ.

Пусть Υ₀ =minc(x_i ).

i=1,…,n

Тогда при всех Υ Є [0,Υ₀ ] соответствующие множества Χ_Υ состоят, из одного нулевого элемента и f(Y)=0 для всех таких Υ. Для ресурса Υ Є [Υ₀ , С] согласно общей схеме динамического программирования справедливы следующие рекуррентные соотношения:

f(Y_k )=max [Q_i + f[Y_k – c(x_i )] – G_i (1)

iЄI_Y

где k=Y₀ , Y₀ +1, …, C; I_Y – множество тех i, для которых с(x_i )≤Y_k , начиная с номера k=maxc(x_i ) уравнение (1) решается для всех i= 1,…,n;

G_i = ∑P_i – сумма вероятностей элементов i-го параметра, которые пересекаются с