Коротко матрицю позначають так:

А=( а_ij ) або А_mxn

де a_ij — елементи матриці, причому індекс i в елементі a_ij означає номер рядка, j— номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Рядок чисел а_і1 а_і2 …а _in називають і-им рядком, а стовпець чисел

а_{1 j}

a _{2 j}

a_{m j} — j-им стовпцем матриці А_{m ? n} .

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m ?n . Якщо хочуть вказати розмір m ?n матриці А, то пишуть А_{m ? n} . Матриці позначають прописними літерами латинського алфавіту А, В, С і т.д.

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною . Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком . Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,— матрицею-стовпцем. Дві матриці А_mn =(a_ij ) та В_mn = (b_ij ) називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідні елементи: а_ij = b_ij . Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О.

В квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ. Квадратна матриця називається діагональною , якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд

Будь-якій квадратній матриці

A =

можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви­значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням

а₁₁ , а₁₂ , ... а_1n

det A = = а₂₁ , а₂₂ , ... а_2n

...................

а_m1 ,а_m2 , ... а_mn

або .

Алгебраїчним доповненням елемента називається число, рівне .

Доповнюючим мінором елемента матриці називається визначник матриці n-1-го порядку, отриманий з матриці викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця.

Дії над матрицями

Сумою матриць А_{m ? n} =(a_ij ) та В_{m ? n} =(b_ij ) однакової розмірності називають таку матрицю С_{m ? n} =(с _ij ) тієї ж розмірності, що с _ij = a_ij +b_{i j} для всіх і =1,…,m та j =1,…,n. Дія утворення суми матриць називається їх додаванням. Вона є комутативною (А, В [ A + B = B + A ] ) і асоціативною (A , B , C [( A + B )+ C ]= [ А+(В+С) ] ).

Нулем є матриця О=(0) (всі елементи цієї матриці є нулями), причому (А [ А+О=О+А ] ). А існує така матриця ,що А+ =+А=О . (Якщо А=(a_ij ), то =(-a_ij ). Матрицю називають протилежною до матриці А і позначають –А ).

Добутком матриці А_{m ? n} =(a_ij ) на число k називають таку матрицю D_{m ? n} = (d_ij ) тієї ж розмірності, що й матриця А_{m ? n} , елементи d_ij якої дорівнюють d_ij =ka_ij для всіх і =1,…,m та j =1,…,n. Дія утворення добутку матриці на число називається множенням матриці на це число. Для позначення добутку матриці на число вживають запис D_{m ? n} =k А_{m ? n} . Множення матриці на число має такі властивості :

1. ( k,s , А (ks )A=k (sA ))

2. ( A,B, k k (A+B)=k A+k B)

3. (k,s, А (k+s )A=k A+s A)

На множину всіх m ?n – матриць відносно операцій додавання і множення їх на число можна дивитися як на m ?n -вимірний векторний простір.

Нехай А_{m ? n} =(a_ij ), В_{n ? s} =(b_ij ) – дві матриці розмінностей відповідно m ?n та n ? s . Добутком матриці А_{m ? n} на матрицю В_{n ? s} називається така матриця С_{m ? s} =(c _ij ) , що

c _ij =a_{i 1} b _{1 j} + a_{i 2} b _{2 j} +…+ a_in b_nj = a_ir b_rj .

Бачимо, добуток матриці А на матрицю В визначено тоді і тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В .

В результаті множення матриці А на матрицю В одержуємо матрицю С з таким числом рядків, як матриця А , і з таким числом стовпців, як і матриця В .

Для квадратних матриць однакового порядку визначені обидва добутки АВ та ВА , які є матрицями того ж порядку, що й матриці А та В. При цьому АВ може не дорівнювати ВА . Дія утворення добутку матриці А на матрицю В називається множенням матриці А на матрицю В . Множення матриць має такі властивості:

1. (А , В , C , для яких мають зміст добутки АВ та ВС , [ ( АВ)С=А(ВС) ] ),