Лабораторная работа: Дифференцирующие и интегрирующие цепи

Тогда при точном дифференцировании для выходного сигнала получим:

, (13)

откуда следует, что коэффициент передачи идеального дифференцирующего четырёхполюсника () равен:

(14)

Рассмотренная нами дифференцирующая цепь (рис.2) имеет коэффициент передачи:

(15)

Из сравнения (14) и (15) видно, что рассмотренная нами цепь будет тем ближе к идеальной, чем лучше выполняется условие

wt₀ << 1 (16)

Причём, для всех частот в спектре входного сигнала. Для упрощения оценки в неравенство (16) обычно подставляют максимальную частоту в спектре входного сигнала w_m t₀ << 1.

Итак, чтобы продифференцировать некоторый сигнал, необходимо найти его спектральный состав и собрать RC-цепь с постоянной времени t₀ << w_m ^-1 , где w_m – максимальная частота в спектре входного сигнала.

Отметим, что для импульсных сигналов верхнюю границу полосы частот можно оценить по формуле (2) w_m = 2p/t_u , где t_u – длительность импульса. Т.о., в этом случае условие дифференцирования запишется в виде

t₀ << t_u (17)

Совершенно аналогично можно показать, что для удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия

wt₀ >> 1 (18)

также для всех частот спектра входного сигнала, в том числе и для самой нижней. Аналогично для интегрирования импульсов длительностью t_u условие интегрирования запишется в виде

t₀ << t_u (19)

Из неравенств (16), (18) следует, что при заданной цепи дифференцирование осуществляется тем точнее, чем ниже частоты, на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование – чем выше эти частоты. Чем точнее дифференцирование или интегрирование, тем меньше величина выходного сигнала.

Прохождение прямоугольных импульсов через RC -цепи

В качестве примера, иллюстрирующего дифференцирование и интегрирование сигналов, рассмотрим отклик RC-цепей, показанных на рис.2 и 3, на прямоугольный импульс. Возьмём цепь, на выходе которой стоит сопротивление (рис.2), найдём осциллограмму выходного напряжения, т.е. вид U_R (t). Пусть в момент времени t = 0 на входе возникает скачок напряжения U₀ (рис.4).

В этом случае для 0 < t < t_u можно записать уравнение цепи в виде:

U₀ = 1/Còi(t)dt + U_R (t). (17)

После дифференцирования получим

dU_R /dt + U_R /t₀ = 0. (18)

Поскольку ёмкость С не может зарядиться мгновенно, то для t = 0, U_R = U₀ всё входное напряжение оказывается приложенным к сопротивлению. С учётом этого начального условия решение уравнения (18) запишется в виде:

. (19)

Экспоненциальный спад выходного напряжения описывает процесс зарядки ёмкости через сопротивление R и соответствующее перераспределение напряжения между R и C. При этом постоянная времени t₀ характеризует скорость зарядки ёмкости и может быть интерпретирована как время, за которое напряжение U_R уменьшится в е раз.

Для t₀ << t_u экспоненциальная зависимость становится резче, в результате на выходе наблюдаем короткие импульсы в момент начала и окончания входного воздействия, являющиеся удовлетворительной аппроксимацией производной от входного сигнала (рис.4).

Если выходное напряжение снимается с конденсатора, то для 0 < t < t_u получим: