Лабораторная работа: Критерии устойчивости систем

САУ устойчива, если коэффициенты первого столбца таблицы при положительны: , , , …, .

Для многочлена второго порядка коэффициенты:

Поскольку все коэффициенты 1-го столбца положительны, то по критерию Рауса система устойчива.

Устойчивость системы по критерию Гурвица

Суть критерия устойчивости Гурвица: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны при .

Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:

Матрица Гурвица примет вид:

Ее диагональные миноры:

получились положительными

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все n диагональных миноров были положительны .

Поскольку все диагональные миноры матрицы Гурвица положительны (Δ1 > 0, Δ2 > 0) при a0 > 0, то система устойчива.

Устойчивость системы по критерию Михайлова

Формулировка критерия Михайлова:

Замкнутая система автоматического управления устойчива, если характеристическая кривая (годограф Михайлова), начинаясь на положительной вещественной оси в точке an, при изменении частоты 0£w£¥ последовательно проходит число квадрантов равное степени характеристического полинома.

Задан характеристический полином системы:

Построим годограф Михайлова в Маткад при изменении частоты от 0 до 10000 с-1 (рис 2)

Рис 2

Годограф, изображенный на рис 2 начинается на действительной положительной оси и проходит последовательно две четверти (равно степени полинома D(p)), (очень незначительно выступает на второй квадрант, возможно из-за того, что один из коэффициентов полинома очень мал a0 = 0.0000081, близок к нулю). Т.е наблюдаемая устойчивость на грани.

Поскольку годограф пересекает последовательно 2 квадранта для полинома второго порядка, то по критерию Михайлова система устойчива.

Устойчивость системы по критерию Найквиста

Для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии:

Условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1,j0).