Лабораторная работа: Математические программирование

Для изготовления 2-х различных изделий А и В используется 3 вида сырья. На производство единицы изделия А требуется затратить сырья 1-го вида а1 кг, сырья 2-го вида – а2 кг, сырья 3-го вида – а3 кг. На производство единицы изделия В требуется затратить сырья 1-го вида в1 кг, сырья 2-го вида – в2 кг, сырья 3-го вида – в3 кг. Производство обеспечено сырьём 1-го вида в количестве Р1 кг, сырьём 2-го вида в количестве Р2 кг, сырьём 3-го вида в количестве Р3 кг. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет ден.ед., а изделия В – ден.ед.

№	а1	а2	а3	в1	в2	в3	Р1	Р2	Р3
8	11	7	8	10	5	6	425	450	550	2	4

Математическая модель задачи

Обозначим количество произведенной продукции 1-го вида через х1, 2-го вида – х2. Тогда линейная функция примет вид: Z (х1, х2) =2*х1+4*х2.

Это есть цена произведенной продукции. Наше решение должно обеспечить максимальное значение этой функции.

Условие налагает на величины х1 и х2 ограничения следующего вида:

Построенная линейная функция называется функцией цели и совместно системой ограничений образует математическую модель рассматриваемой экономической задачи.

Графическое решение задачи

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х1Ох2 на плоскости изобразим граничные прямые

х1	0	68,75
х2	91,66	0

х1	0	64,28
х2	90	0

х1	0	38,63
х2	42,5	0

Взяв какую-нибудь точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Многоугольником решений данной задачи является треугольник АОВ . Для построения прямой 2*х1+4*х2=0 строим радиус-вектор N =(2;4)=2.5*(2;4)=(5;10) и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z =0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N . Опорной по отношению к многоугольнику решений эта прямая становится в точке А (0;42,5) , где функция Z принимает максимальное значение.

Оптимальный план задачи: х1=0; х2=42,5.

Подставляя значения х1 и х2 в линейную функцию, получаем Zmax =2*0+4*42.5=170 у.е.

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 170 у.е., необходимо запланировать производство 42,5 ед. продукции В.

Решение задачи симплексным методом

Запишем систему в векторной форме

х1*А1+х2*А2+х3*А3+х4*А4+х5*А5=Ао, где

Составляем симплексную таблицу.

i	Базис	Сбаз	Ао	С1=2	С2=4	С3=0	С4=0	С5=0	С.О.
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А3	0	425	11	10	1	0	0	42,5
2	А4	0	450	7	5	0	1	0	90
3	А5	0	550	8	6	0	0	1	91,66667
m+1	Zj-Cj		0	-2	-4	0	0	0

Среди полученных оценок имеются две отрицательные: Z1-C1=-2<0 и Z2-C2=-4<0. Это означает, что первоначальный опорный план не является оптимальным и его можно улучшить, включив в базис вектор, которому соответствует максимальное по модулю отрицательное число в m+1 строке. Разрешающий вектор-столбец А2. Разрешающий элемент находим по минимальному симплексному отношению. Разрешающий элемент – число 10.

Составим вторую симплексную таблицу.

i	Базис	Сбаз	Ао	С1=2	С2=4	С3=0	С4=0	С5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А2	4	42,5	1,1	1	0,1	0	0
2	А4	0	237,5	1,5	0	-0,5	1	0
3	А5	0	295	1,4	0	-0,6	0	1
m+1	Zj-Cj		170	2,4	0	0,4	0	0

Просмотрев m+1 строку, убеждаемся, что опорный план – оптимален.

Оптимальный план предусматривает изготовление 42,5 ед.изделия В и не предусматривает изготовление изделий А. Изготовление изделий А привело бы к уменьшению прибыли на 2,4 у.е. Сырье 1-го вида используется полностью. Неиспользованными остается 450-237,5=212,5 тонн 2-го вида и 550-295=255 тонн 3-го вида сырья. Максимальная прибыль составляет 170 у.е.

Решение задачи на компьютере

Выполним следующие действия:

– В ячейку А1 вводим формулу для целевой функции=2*х1+4*х2

– В ячейку А3 вводим формулу для ограничения: =11*с1+10*с2.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--