Лабораторная работа: Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = ¦(х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:

¦(х) = lnx

Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Решение

Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом

h = 0,04:

x	¦(х) = lnx
1	0
1,04	0,039221
1,08	0,076961
1,12	0,113329
1,16	0,14842
1,2	0,182322

Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

1. На отрезке [ a, b] задать одномерную сетку

h_x = {x_i / x_i = x_{i –1} + h_i , h_i > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x₀ = a, x_n = b}

и значения y_i = f(x_i ) в узлах сетки x_i , i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x^* Î (a, b).

2. Положить a_i = y_j , i = 0, 1, 2, …, n.

3. Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:

Определить значения коэффициентов c_i , i = 0, 1, 2, …, n.

4. Определить значения коэффициентов d_i и b_i , i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:

d_i = (c_i –c_{i – 1} ) / h_i , i = 1, 2, …

5. Определить значение индекса 0 < k£n из условия x^* Î [x_{k – 1} , x_k ].

6. Вычислить по формуле

S(x^* ) = S_k (x^* ) = a_k + b_k (x^* – x_k ) + (c_k / 2)(x^* – x_k )² + (d_k / 6)(x^* – x_k )³ .

7. Процесс завершен: S(x^* ) – результат интерполяции табличных данных в точку x^* Î (a, b).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

ai	bi	ci	di
0,03922	0,96467	-1,188280	-29,70700
0,07696	0,92494	-0,798322	9,74897
0,11333	0,89366	-0,765997	0,80813
0,14842	0,85986	-0,92391	-3,94780
0,18232	0,84138	0,00000	23,09770

Значение функции в точке находится по формуле:

S(x^* ) = S_k (x^* ) = a_k + b_k (x^* – x_k ) + (c_k / 2)(x^* – x_k )² + (d_k / 6)(x^* – x_k )³

2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке [a, b] с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта

, , 0 £ х £ 1

Решение. Метод Эйлера

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--