Пример . Десятичное число А₁₀ = 4718,63 в развернутой форме запишется так:

А₁₀ = 4·10³ + 7·10² + 1·10¹ + 8·10⁰ + 6·10^-1 + 3·10^-2

Двоичное число А₂ = 1001,1 = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ + 1·2^-1

Восьмеричное число А₈ = 7764,1 = 7·8³ + 7·8² + 6·8¹ + 4·8⁰ + 1·8^-1

Шестнадцатеричное число А₁₆ = 3АF16 = 3·16² + 10·16¹ + 15·16⁰

2. Переходы между основными системами счисления

Основные СС имеют основания 2, 8,10, 16. Системы с основаниями 2, 8 и 16 являются родственными, так как их основания являются степенями двойки. Переходы между ними реализуются легко.

2 ® 8. Двоичное число разбивается справа налево на триады (тройки цифр) и каждая триада заменяется на 8‑ичную цифру.

2 ® 16. Двоичное число разбивается справа налево на тетрады (четверки цифр) и каждая тетрада заменяется на 16‑ичную цифру.

8 ® 16 и 16 ® 8. Преобразование идет через двоичную СС.

Любое основание ® 10. Осуществляется по определению позиционной системы счисления.

10 ® 16. Имеется два способа преобразования.

1. Метод деления «уголком» строит результирующее 16‑ичное число от младших цифр к старшим. Для этого запоминаются целые остатки от деления исходного числа на 16, пока частное не станет равным 0. Записывая эти остатки в обратном порядке, получим ответ.

2. Метод «вычерпывания» состоит из нескольких итераций. На каждой итерации исходное число х оценивается снизу максимальной степенью m нового основания p= 16: х ≥ 16^m . Затем определяем число r вхождений степени 16^m в число х. Наконец, 16‑ичную цифру r записываем в результирующее число в разряд с номером m. Число x заменяем на меньшее число х – r · 16^m . Если новое число х = 0, то алгоритм заканчивается, и остальные разряды результата заполняем нулями. В противном случае, переходим к следующей итерации.

3. Основные 16‑ичные константы

Большинство числовых констант, которые встречаются в компьютерной технике, являются круглыми шестнадцатеричными числами. Эти числа обычно записывают в десятично-буквенном виде, имеющем формат ab, где а – десятичное число, b – буква.

Таблица 1.Шестнадцатеричные константы

16‑ичная константа	Десятично-буквенное значение	Примечания
0х10	24 = 16	Размер параграфа
0х100	28 = 256	Размер физического сектора
0х200	512	Размер кластера на дискете
0х400	210 = 1024 = К	Килобайт
0х1000	4 К
0х10000	64 К	Размер сегмента
0хА0000	640 К	Верхняя граница ОЗУ для размещения исполняемого кода в DOS
0х100000	220 = М	Мегабайт

Следующая таблица содержит популярные степени числа 2, а также их русские и английские названия.

Таблица 2. Степени числа 2

Показатель степени	Степень	Примечания
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	К = 1024 » 103 , К	Килобайт, Kilobyte
20	М = К·К = К2 » 106 , М	Мегабайт, Megabyte
30	Г = К3 » 109 , G	Гигабайт, Gigabyte
40	Т = К4 = М2 » 1012 , T	Терабайт, Terabyte
50	П » 1015 , P	Петабайт, Petabyte
60	Э » 1018 , E	Экзабайт, Exabyte
70	З » 1021 , Z	Зетабайт, Zettabyte
80	Й » 1024 , Y	Йотабайт, Yottabyte

Последние строки кратных единиц были дополнены ГОСТом в 1991. Вычисления с числами, представленными в десятично-буквенном виде, можно осуществлять без перехода в десятичную СС. Например, 32 Т / 256 К = 2⁴⁵ / 2¹⁸ = 2²⁷ = 128 М.

Таблицы 1 и 2 позволяют переводить 16‑ичные числа в десятично-буквенную запись без применения вычислительных средств. Например,
0х7D8A30 = 7·0x100000 + 13·0x10000 + 8·0x1000 + 10·0x100 + 3·16 = 7 M + 13·64 K + 8·4 K + 10·(K/4) + 48 = 7 M + 866,5 K + 48.

Отметим, что для десятично-буквенных чисел не выполняется дистрибутивный закон, то есть 1 М + 100 К не равен 1,1 М.

4. Реализация целочисленных операций

Представление чисел в компьютере осуществляется в двоичной СС. Однако для краткости записи чисел используют родственную 16‑ичную СС.

Определение 1 . Логическим адресом ячейки памяти в ОЗУ с 20‑битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх – шестнадцатеричный сегментный адрес, yyyy – шестнадцатеричное смещение. Физическим адресом этой ячейки называется число xxxx0 + yyyy.

Пример . Область кода программы расположена с ячейки 55А3:3000 по ячейку 9EEF:A0FF. Оценить размер области в килобайтах.

Решение . Физический адрес начала области 0х55А30 + 0х3000 = 0х58A30, конца области 0х9EEF0 + 0хA0FF = 0хA8FEF. Размер этой области равен 0хA8FEF– 0х58A30 + 1 = 0x505C0 = 5·64 К + 0·4 К + 10· (К/4) + 12·16= (320 + 2,5) К + 192 = 322,5 К + 192.

Определение 2 . Нормализованным адресом ячейки памяти ОЗУ с 20‑битной адресной шиной называется запись xxxx:yyyy, где хххх – шестнадцатеричное число, yyyy – шестнадцатеричное смещение, не превосходящее размера параграфа, то есть из диапазона от 0 до 15.

Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления с 16‑ичными числами осуществляются аналогично 10‑ичным числам, то есть «столбиком». Однако, имеются некоторые отличия.

Пример . Критерии деления 16‑ичного целого числа на 3 и на 5 выглядят одинаково: сумма цифр должна делится, соответственно, на 3 и на 5.

Пример . Оказывается в 16‑ичной СС 0x11² = 0x121, 0x12² = 0x144, 0x13² = 0x169.

Пример . Десятичное число 0,1 нельзя представить в виде конечной 2‑ичной дроби A= 0, a_-1 …a_{- m} = a_-1 2^-1 + a_-2 2^-2 +… + a_{- m} 2^{- m} . В противном случае, умножая равенство 0,1 = А на 10·2^m , получим 2^m = 10·(a_-1 2^{m -1} +
a_-2 2^{m -2} +… + a_{- m} 2⁰ ). Последнее равенство невозможно, так как правая часть делится на 5, а левая – нет.

5. Представление отрицательных чисел