Лабораторная работа: Вычисление наибольшего, наименьшего значения функции в ограниченной области

Решение: Здесь z'_x =2ху+у² +у, z'_y =х² +2ху+х.

Находим все критические точки:

Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .

2 . Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА

На участке АВ:

Значения функции z(-1) = -1,

На участке ВС:

Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5.

На участке СЕ:

z'_y =4у+6, 4у+6=0, у=-3/2.

Значения функции

На участке АЕ:

Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5.

3 . Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D , ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

Решение

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху .

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0).