Научная работа: Геометрические построения на местности с помощью циркуля и короткой градуированной веревки
Задача 3. Найти точку пересечения двух прямых
На местности колышками обозначены две точки (А и В) одной прямой и две точки (С и D) другой прямой. Как найти точку пересечения этих прямых?
Решение: данная задача сводитсяк построению двух различных прямых. Пользуясь задачей 1, 2 построим множество точек прямой АВ и множество точек прямой СD. Наша задача найти точку пересечения получившихся прямых АВ и CD.
Натянем веревку на ближайшие четыре колышка, как показано на рисунке, точка пересечения веревки и будет точкой пересечения прямых АВ и CD. В нашем случае это точка О.
Задача 4. Построение перпендикуляра к прямой
На местности обозначена данная прямая точками А и В. Как построить произвольный перпендикуляр к данной прямой?
Решение: для решения данной задачи воспользуемся задачей 1 и построим точки С и D.
Далее задача сводится к построению множества точек прямой СD, которая и будет являться перпендикуляром к прямой АВ.
Задачи с использованием короткой градуированной веревки
Задача 5. Симметрия относительно точки (построение отрезка равного данному)
На местности обозначены точки А и В. Как найти точку С, симметричную точке А относительно точки В ?
Решение:построим некоторое число точек прямой АВ (задача 1) и с помощью короткой градуированной веревки найдем длину отрезка АВ (измерив расстояние между всеми построенными точками отрезка АВ).
Продолжим прямую АВ за точку В (задача 2) и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В . Для этого понадобится построить несколько точек прямой АВ в направлении точки В и отложив необходимое расстояние получим искомую точку С.
Задача 6. Построение прямой параллельной данной
На местности обозначены три данные точки: А, В и С , не лежащие на одной прямой. Через точку А проложите прямую, параллельную прямой ВС .
Решение: продолжим прямую АВ за точку В (задача 2) и отложим на ней точку D на расстоянии АВ от точки В (задача 5). Продолжим прямую С D за точку С и отложим на ней точку Е на расстоянии С D от точки С . Тогда отрезок АЕ будет параллелен отрезку ВС , являющемуся средней линией треугольника А D Е, так как средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Задача 7. Нахождение середины отрезка
Найдите середину отрезка АВ , заданного на местности двумя точками А и В .
Решение:возьмём какую-либо точку С , не лежащую на прямой АВ . Продолжим прямую C В за точку С (задача 2) и отложим на ней точку D на расстоянии 2ВС от точки С (задача 5). Продолжим прямую А D за точку А (задача 2) и отложим на ней точку Е на расстоянии А D от точки А (задача 5). Искомая середина F отрезка АВ лежит на его пересечении с прямой ЕС . Действительно, отрезок СЕ параллелен отрезку AG - средней линии треугольника CDE (здесь G - середина отрезка CD ). Так как, кроме того, BC = CG , то CF - средняя линия треугольника ABG , откуда AF = FB .
Задача 8. Построение биссектрисы угла
На местности обозначены три точки A , M и N , не лежащие на одной прямой. Проложите биссектрису угла MAN .
Решение:выберем на стороне данного угла точки В и С , а на другой - точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства
AB = BC = AD = DE . (Воспользоваться задачей 5).
Найдём точку О пересечения прямых ВЕ и CD . (Воспользоваться задачей 3). Тогда прямая АО будет искомой биссектрисой, поскольку в равнобедренном треугольнике ACE биссектриса AF является одновременно и медианой, а значит, проходит через точку О пересечения медиан EB и CD .
Задача 9. Деление отрезка в данном отношении
Отрезок, заданный на местности двумя точками А и В , требуется разделить в отношении, в котором находятся длины двух отрезков Р1 Q1 иР2 Q2 , заданных на местности точками Р1 ,Q1 иР2 ,Q2 , . Как это сделать?
Решение: построение точки Х, делящей отрезок АВ в отношении Р1 Q1 иР2 Q2 , произведём аналогично построению середины отрезка АВ, описанному в решении задачи 7. Отличие будет состоять в том, что мы проведем какой-нибудь луч АМ, не лежащий на прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно отрезки АC и СD, равные отрезкам Р1 Q1 и Р2 Q2. Затем проведем прямую BD и прямую проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она пересечет отрезок АВ в искомой точке Х.