Реферат: Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

В-третьих, открытие метода ОЗР позволило установить тесную связь между автомодельными решениями нелинейных уравнений в частных производных, интегрируемых методом ОЗР, и решениями ОДУ P-типа, т.е. ОДУ, общий интеграл которых не содержит многозначных подвижных особых точек.

Следует отметить, что аналитические свойства решений ОДУ P-типа первого и второго порядка достаточно хорошо изучены. Наибольший интерес в настоящее время привлекают так называемые высшие аналоги уравнений P-типа.

По всем этим причинам поиск автомодельностей в последнее время начинается сразу, как только открывается новая область исследования.

В данной работе исследуются некоторые аналитические свойства решений системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Характерной особенностью уравнений данной системы является то, что они определяют преобразования (прямое и обратное) Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве.

Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве есть точная автомодельная редукция высшего аналога уравнения Кортевега де Фриза, имеющего широкий спектр приложений в нелинейной физике. Метод исследования аналитических свойств решений указанной выше системы состоит в исследовании эквивалентных ей двух нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка с учётом аналитических свойств решений высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Полученные в работе результаты являются новыми.

Основная часть

Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве [5]

имеет преобразование Беклунда и обратное к нему, определяемые формулами

, (1)

, (2)

соответственно с произвольным параметром .

Это означает, что если известно решение уравнения

(3)

при некотором фиксированном значении параметра , то формула (2) позволяет получить решение уравнения при фиксированном значении параметра .

И наоборот, если известно решение уравнения при фиксированном значении параметра , то с помощью (1) можно получить решение уравнения (3).

При этом предполагается, что знаменатели дробей в (1) и (2) при любых значениях z отличны от нуля.

Система (1), (2) эквивалентна по уравнению:

, (4)

где

Относительно система (1), (2) также эквивалентна уравнению шестого порядка

, (5)

где

Нетрудно проверить, что уравнение (5) получается из (4) с помощью преобразований , .

Справедливо следующее утверждение.