Реферат: Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

В справедливости данной теоремы можно убедиться, если из найти , и вместе с подставить в уравнение (4).

Остановимся на некоторых свойствах решений уравнения . Лемма. Уравнение можно записать в виде системы

(6)

Справедливость этого утверждения устанавливается исключением из системы (6).

Заметим, что из (6) также следует существование трёхпараметрического семейства решений уравнения при , которое определяется общим решением уравнения

(7)

Действительно, если в (6) положить , , то мы получаем уравнение (7).

Для интегрирования уравнения (7) введём функцию . Тогда и система (6) перепишется в виде

(8)

а уравнение (7) - в виде

. (9)

Ясно, что уравнение (9) интегрируется посредством первого трансцендентна Пенлеве заменой , , где , . Таким образом, справедлива [5]

Теорема 2. Произвольное решение уравнения Риккати , где q - произвольное решение первого уравнения Пенлеве, является решением уравнения .

Известно также [5], что уравнение имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда . Они легко получаются из тривиального решения при с помощью формул (1), (2). В частности, при имеем решение , а при решение .

Характерной особенностью уравнения является то, что оно является частным случаем уравнения

,

где , , ,

получающегося из высшей иерархии Кортевега де Фриза

, (10)

где , ,

при помощи редукции

, .

При уравнения и (10) являются [6] классическими уравнениями Кортевега де Фриза и вторым уравнением Пенлеве связанными преобразованием

, .

Для в получаем уравнение . Ещё одной важной особенностью уравнения является то, что оно имеет трёхпараметрические и двухпараметрические семейства полярных решений [7]. В силу теоремы 1 таким же свойством обладает и уравнение (5).

Подробное описание различных свойств решений уравнения в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии [8].

Заключение

Исследование аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождаемой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве позволило доказать существование у неё четырёхпараметрического семейства решений, порождаемого общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого доказано существование у системы рациональных, а также двух - и трёхпараметрических семейств полярных решений. Работа (в рамках поставленной задачи) является завершённой.

В процессе исследований использовался пакет символьных вычислений МАТЕМАТИКА.

Список использованных источников

1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир. 1987. - 479 с.