Реферат: Биматричные игры. Поиск равновесных ситуаций

Также справедлива теорема Дж. Нэша. Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию в смешанных стратегиях.

3. Общий принцип решения биматричных игр

В первое неравенство системы последовательно подставляются все чистые стратегии игрока А, при предположении, что В придерживается своей оптимальной стратегии. Во второе неравенство подставляются все чистые стратегии игрока В, при предположении, что А придерживается своей оптимальной стратегии.

Полученная система m+n неравенств, решение которой дает значение элементов оптимальных смешанных стратегий (P*,Q*) и платежи, получаемые игроками в точке равновесия.

Пример: борьба за рынок.

А=

В=

Решение задачи

v_A =-10×1q₁ +2×1*(1-q₁ )+(1-p₁ )q₁ -(1-p₁ )(1-q₁ )=-14×1q₁ +3×1+2q₁ -1

v_B =5×1q₁ -2×1*(1-q₁ )-(1-p₁ )q₁ +(1-p₁ )(1-q₁ )=9×1q₁ -3×1-2q₁ +1

Пусть

p₁ =1 тогда v_A =2-12q₁ -14×1q₁ +3×1+2q₁ -1

p₁ =0 тогда v_A =-1+2q₁ -14×1q₁ +3×1+2q₁ -1

q₁ =1тогда v_B =-1+6×1 9×1q₁ -3×1-2q₁ +1

q₁ =0 тогда v_B =1–3×1 9×1q₁ -3×1-2q₁ +1

Cоставляем 4 системы, преобразовываем, получаем:

(p₁ -1)(-14q₁ +3) 0

p₁ (-14q₁ +3) 0

(q₁ -1)(9×1–2) 0

q₁ (9×1–2) 0

p₁ =0 следовательно -(-14q₁ +3) 0 q₁ 3/14

p₁ =1 следовательно (-14q₁ +3)>=0 q₁ 3/14

0<p₁ <1 следовательно -(-14q₁ +3) 0 и (-14q₁ +3) 0->q₁ =3/14

q₁ =0 следовательно p₁ 2/9

q₁ =1 следовательно p₁ 2/9

0<q₁ < 0-p₁ =2/9

Строим график по всем p и всем q, получается на пересечении точка p₁ =2/9, q₁ =3/14 - решение системы неравенств.

P(2/9;7/9), Q(3/14;11/14)

v_{A =} 4/7, v_B =1/3