Реферат: Числа в пространстве
Тем не менее, мы попробуем это сделать. Тем более, что в неклассической релятивистской физике понятие силы уже заменено пространственно-временными отношениями.
Условие задачи таково: мы должны определить вращение без привлечения понятия неподвижной инерциальной системы отсчета, относительно которой вращение вводится стандартным образом.
Предлагаемый здесь подход на первый взгляд выглядит странно - как можно говорить о вращении, если нет абсолютной системы отсчета – покоящейся системы, относительно которой оно осуществляется? Я полагаю, что наш подход не более абсурден, нежели представление о поступательном движении, для которого исключен неподвижный фон. Думаю, что свыкнуться с новым определением вращения будет не сложнее, чем отказаться от мирового эфира.
Выберем за основу вращающуюся систему, которая ВРАЩАЕТСЯ относительно другой системы отсчета, которая тоже ВРАЩАЕТСЯ. Мы, как уже было сказано, не имеем права как бы то ни было вводить особую систему, у которой вращение отсутствует. При этом, у нас нет не только понятия абсолютного пространства, но нет и абсолютного времени, единого для всех таких систем. То есть мы не вправе уже заранее полагать число оборотов в секунду. Соответственно: является ли параметр t независимой переменной - это пока проблематично. Более того, проблема эта оказывается сложней, чем для случая прямолинейного движения.
Суть дела в том, что в классической механике представление о течение времени вводилось априори, поскольку наличие периодических процессов, позволяющих определять его ход, для всех было очевидно. Исаак Ньютон в своем определении абсолютного времени легко абстрагировался от конкретных периодических процессов и ввел ход времени как таковой, - люди с помощью периодических процессов могут только фиксировать его с той или иной степенью точности. Это обстоятельство потом позволило Альберту Эйнштейну отвергнуть абстракцию абсолютного времени на основании того, что время без его измерения просто не мыслимо. Эталоном для измерения времени оказался инвариант скорости света - вполне конкретной скорости, обладающей особым инвариантным свойством. Существенно то, что C - это именно поступательная прямолинейная скорость.
Однако в условиях нашей задачи нет подходящего конкретного эталона, зато есть периодический процесс как таковой, ведь вращение - это модель любого периодического процесса. То есть вращение САМО ПО СЕБЕ – это периодический процесс в чистом виде, причем мерой его для данной системы отсчета является уже заданная, постоянная единица пространства – длина траектории вращения, окружности, радиуса.
Теперь представим бесконечное множество одинаковых вращающихся систем ("колес"), которые характеризуются одинаковыми мерами [м], оси которых располагаются на прямой, перпендикулярно к ней. Наше рассмотрение чисто классическое, ведь мы хотим вывести классическую характеристику вращения (которая только в неклассическом случае псевдоевклидовой плоскости проявит себя как предельная константа S), поэтому нет ничего удивительного, что мера расстояния будет общей для всех систем (радиус "колеса"). Эта мера в нашем случае будет играть ту же роль, что и время для множества инерциальных систем. "Одновременность" здесь будет выступать, как "синхронизация" - положение, когда радиусы "колес" лежат на общей прямой, через точки которой проходят оси.
Вот это множество вращающихся систем, расположенных на прямой так, что все они крутятся синхронно - то есть их радиусы ложатся на одну прямую одновременно ("сборка" прямой из единичных отрезков - это и есть "одновременность"). Абсолютно все они вращаются, но мы не можем определить частоту их вращения, поскольку НЕТ МЕРЫ ВРЕМЕНИ, относительно которой можно было бы задать частоту. Иными словами, с традиционной точки зрения вращающееся "колесо", выбранное за систему отсчета, может иметь любую скорость вращения, зато относительно выбранной вращение другой может быть строго определено. Понятно, что допустимой окажется и обратная операция: определение вращения системы отсчета относительно той, чье вращение измерялось первоначально.
Рис. 2
Мы только что отметили, что в нашей модели нет меры времени. Зато есть другая мера - один полный оборот и длина единичного радиуса, который этот оборот совершает. Зафиксировать оборот для системы отсчета не составит труда: ведь одна система может определять свое собственное вращение относительно другой. Пусть в выбранной модели моментом отсчета для некоторой вращающейся системы является миг синхронизации, когда "совпадают" ("сходятся", "лежат напротив друг друга", "метятся одной отметкой" и т.п.) точки окончания радиусов соседних с ней "колес", оказавшиеся на базовой прямой. Если вращение продолжится, эти точки рано или поздно вновь должны совпасть. (Выражение "рано или поздно" показывает, что никакой определенной частоты вращения [обороты в секунду] - мы наперед задать не вправе, задается только необходимость будущего совпадения.)
Первое же совпадение "меток", которое будет зафиксировано в выбранной системе отсчета, означает, что система совершила один оборот. Такой оборот означает: "пройдена мера расстояния". Для системы отсчета это и есть ее период. Не важно, что соседняя система за это же время могла совершить сколь угодно много оборотов, важно то, что "метки" совпали - то есть радиус системы отсчета вновь лежит на базовой прямой. Теперь количеством этих оборотов можно измерять и вращение любой другой системе. Легко уяснить, что в этой модели независимой переменной является именно число оборотов: "метры накручиваются" совершенно так же неотвратимо и постоянно, как текут секунды времени в классической модели поступательного движения. Теперь в системе отсчета легко измерять скорость вращения любой другой системы вращения: достаточно посчитать число оборотов, сделанных на наших "часах" (система отсчета – «срелка» и соседняя, выбранная за «циферблат») до того, как с измеряемой системой отсчета возник момент синхронизации. Это число оборотов будет количеством условных единиц времени – условных секунд, ведь времени, классического, текущего само по себе, здесь нет. Есть только отсчет оборотов собственной стрелки - вращающейся системы, сделавшей один свой собственный оборот, дойдя до отметки на циферблате - на соседнем "колесе". Так идет "накручивание" условных метров – длины окружности, постоянной в данной системе для заданного радиуса (Мы не случайно именуем вращающуюся систему "колесо", поскольку определение вращения здесь может быть только локальным.)
Казалось бы, мы вправе счесть, что метка, с которой наступило совпадение - это метка на колесе, которое "на самом деле" покоится, то есть его радиус все время совпадает с базовой прямой. Но, достаточно нам это предположить, как схема рушится: ведь тогда вся наша базовая прямая, образуемая совпадающими радиусами, должна вращаться вокруг такого "покоящегося колеса" - вместе со всеми лежащими на ней "колесами" и системой отсчета в придачу! Инерциальной системе в нашей модели места нет, сама базовая прямая - это не общая для всех неподвижная система отсчета, а нечто возникающее из условия "синхронизации" (аналогично в классической модели поступательного движения появляется общая, единая для всех инерциальных систем ось абсолютного времени). Значит нам, действительно, удалось избавиться от инерциальных (не вращающихся) систем, удалось найти модель, когда приходится рассматривать вращение только относительно вращений. Так выясняется, что в классической стандартной модели на самом деле сравнивались не вращения, а мгновенные скорости точек концов радиусов, каждая из которых уже заранее задавалась как прямолинейная поступательная, относительно общей для них неподвижной системы отсчета.
Таким образом, для того, чтобы можно было сравнивать между собой ТОЛЬКО ВРАЩАЮЩИЕСЯ системы, мы должны располагать их осях вращения перпендикулярных к базовой прямой, с которой совпадают вращающиеся радиусы. В ином случае, измеряя относительное вращение, мы всегда будем вынуждены считать систему отсчета инерциальной, а в результате получать определение мгновенной поступательной скорости. Если мы в физике хотим проводить четкое различие между инерциальными и вращающимися системами отсчета, иной схемы для сравнения вращений, нежели только что предложенная, придумать нельзя. Более того, стандартная схема, где можно вводить покой вращающейся системы отсчета, непригодна еще и потому, что в ней ход времени - базовый периодический процесс - вводится аксиоматически. Молчаливо предполагается, что этот процесс не входит в множество рассматриваемых вращений. Легко догадаться, что такой базовый периодический процесс-вращение - это элемент того ортогонального множества вращений, которое мы сейчас рассматриваем.
Что же мы получим, если в рамках нашего мысленного эксперимента будем строить шкалу относительных вращений? Мы должны придти к выводам, что единицу времени, отсчитываемую "часами-колесом", надо определять, исходя из того - сколько раз было зафиксировано совпадение точек на часах. Чем больше оборотов будет отмечено по нашим "часам" до момента, когда совпадение произойдет - тем большее значение для скорости вращения будет зафиксировано.
Допустим, что до момента фиксации совпадения меток с измеряемым колесом было отсчитано N оборотов "собственного времени", тогда измеряемому колесу будет приписана мера вращения в N секунд за один оборот. Если вспомнить, что оборот - это "накручивание метров", то мерой измерения скорости вращения станет [с/м]. Что же будет происходить, при переходе от одной системы отсчета к другой? Теперь "часами" для новой системы отсчета становится та, которая раньше была системой отсчета. Точно так же, как в классической модели определения прямолинейных поступательных скоростей осуществляется переход из системы отсчета в систему, чья скорость измеряется.
Рис. 3.
Легко посчитать, каким образом будут складываться вращения. Допустим, для простоты, что система отсчета B зафиксировала совпадение "меток" с измеряемой системой C за два собственных оборота, за 2 условные секунды, - тогда измеряемой системе приписана скорость в 2[с/м]. Всякий раз, по "часам" отсчитывается два оборота, прежде чем измеряемая система сделает один. (Образно выражаясь, длина "суток" системы C - один ее оборот – это 2 оборота стрелки на наших часах, где системы A и B - это циферблат и часовая стрелка. Понятно, почему люди измеряют время на Земле именно ТАК.)
Теперь пусть измеряемая система, ставшая новой системой отсчета, точно также зафиксирует такую же скорость вращения у новой системы D. Но это означает, что в первоначальной системе отсчета B скорость этой последней будет измерена уже как 4 оборота до первого совпадения меток! То есть 2[с/м]+2[с/м]=4[с/м] - в полном соответствии с арифметическим законом сложения скоростей. Фокус в том, что собственная условная секунда в системе C измеряется по отношению к B, которая, конечно, до этого совпадения уже успела сделать один собственный оборот. Но в таком "фокусе" нет ничего удивительного, ведь никакого абсолютного времени нет, есть только собственные обороты - условные секунды - которые возникают через определение совпадений меток системы отсчета с метками той, относительно которой начался отсчет оборотов.
А теперь отметим главную особенность нашей модели. Если мы строим относительность вращений по аналогии с относительностью для поступательного движения, то мы должны предположить, что две системы вращения, A и B, которые сравнивались первоначально, должны приписать друг другу равные скорости вращения. Но у нас этого вроде бы нет: мы говорим только о совпадении меток, которое позволяет системе B зафиксировать свой полный оборот. Если мыслить по аналогии, B должна тогда приписать системе A также только один оборот, но мы начали с того, что заявили: эта система A может "на самом деле" совершить и большее число, главное – чтобы метки совпали. Кроме того, читатель, наверное, уже обратил внимание, что измеряемой системе я сразу приписал скорость в 2[с/м], но, если мыслить по аналогии, мы должны были бы рассмотреть системы A, B и C, так, чтобы вращения A и C относительно центральной системы отсчета B были единичны и равны между собой.
Вспомним, как мы измеряем относительные скорости для поступательного движения: если скорость точки B относительно системы отсчета A задается единичной, а в системе B имеется точка C, движущаяся с единичной скоростью, то симметрия такова, что относительно точки B скорости A и C равны.
¬ A · B· · C ®
Рис. 4.
Да, они равны по модулю, но ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕНЫ. Тогда аналогом этого симметричного случая в нашей модели станет следующая ситуация:
Рис. 5
Относительно вращающейся системы B вращательные скорости систем A и C будут единичны, но противоположно направлены: ведь синхронность совпадений меток не свидетельствует о направленности вращения! Возникает проблема: пусть у A и C скорости противоположно направлены, но в какую же сторону тогда крутится "колесо" B? Вопрос чрезвычайно интересный. Получается, что "колесу" можно приписать вращение в любую сторону! Это делает нашу модель полностью аналогичной классической схеме относительности поступательного движения. В классической схеме системе отсчета приписывался покой – нуль поступательной скорости. Нулевая скорость само по себе, безотносительно к чему либо. Аналогом этого "абсолютного самого по себе покоя" в нашей модели оказывается неопределенность направления вращения. Именно неопределенность, ведь определенность наступает только тогда, когда вводится четвертая система вращения D, теперь для выполнения правила арифметического сложения скоростей вращения система B будет иметь направление вращения в ту же сторону, что и C и D. Легко убедиться, что эта неопределенность будет возникать всякий раз, когда мы переходим в новую систему отсчета.
Смысл такой неопределенности легко понять: система ВРАЩАЕТСЯ, но направления вращений меняются в зависимости от задаваемой системы отношений. Точно также для инерциальных систем меняются местами покой и движение, в зависимости от того, что считается системой отсчета.)*