Реферат: Числення висловлень

Послідовно маємо

F 1: A

F 2: A ®B

F 3: MP(F 1,F 2) = B

2. Доведемо тепер закон виключення третього : |- A ÚØA .

F 1: A 6 = A ®(A ÚØA )

F 2: (a ®a ) = (Ø(A ÚØA ))®(Ø(A ÚØA )) (див.приклад 2)

З формул F 1 і F 2 маємо (за ОМТД)

F 3: Ø(A ÚØA ),A |- A ÚØA

F 4: Ø(A ÚØA ), A |- Ø(A ÚØA )

За доведеним правилом введення заперечення у формула з F 3 і F 4 отримаємо:

F 5: Ø(A ÚØA ) |- ØA .

Аналогічно використовуємо аксіому A 7, в якій замість b підставляємо ØA .

A 7 = ØA ®(A ÚØA )

Ø(A ÚØA ), ØA |- A ÚØA

Ø(A ÚØA ), ØA |- Ø(A ÚØA )

Отримуємо

F 6: Ø(A ÚØA ) |- ØØA .

За правилом введення заперечення з F 5 і F 6 дістанемо:

F 7: |- ØØ (A ÚØA )

F 8: A 10 = ØØ(A ÚØA )®(A ÚØA )

F 9: MP(F 7,F 8) = A ÚØA , тобто |- A ÚØA .

Iснують й інші числення висловлень , тобто числення з іншими системами аксіом і правилами виведення.

Наприклад, розглянемо числення висловлень ЧВ1, яке використовує тільки логічні операції Ø і ® і має таку систему аксіом:

S 1. a ®(b ®a )

S 2. (a ®(b ®c ))®((a ®b )®(a ®c ))

S 3. (Øa ®Øb )®((Øa ®b )®a )

Правилами виведення в новому численні є ті самі правила, що і в старому, тобто правило підстановки і правило висновку.

Якщо в системі аксіом першого числення замінити підформули (a Úb ) на (Øa ®b ), а підформули (a Ùb ) - на Ø(a ®Øb ), то справедливою є така теорема.