Реферат: Численное интегрирование определённых интегралов

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x₀ ,x_1, x₂ ,…,x_n =bна nравных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

Обозначим через y₀ ,y₁ ,y₂ ,…,y_{n -1} ,y_n значение функции f(x) в точках x₀ , x₁ , x₂ …,x_n , то есть, если записать в наглядной формуле:

Y₀ =f(x₀ ), y₁ =f(x₁ ), y₂ =f(x₂ )…y_n ,=f(x_n ).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

Составим суммы: y₀ Δx+ y₁ Δx₁ + y₂ Δx₂ …+y_{n -1} Δx; Y₁ Δx+ y₂ Δx+…+y_n Δx

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через y_i : S_пр =a*b=y_i Δx.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем Δx=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

f(x)dx≈Δx(y₀ +y₁ +…+y_n-1 );

f(x)dx≈Δx(y₁ +y₂ +…+y_n ).

Выразив x, получим окончательно:

f(x)dx≈((b-a)/n)(y₀ +y₁ +…+y_n-1 );(3)

f(x)dx≈((b-a)/n)(y₁ +y₂ +…+y_n );(3*)

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает Sфигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления). Для вычисления погрешности этого метода используется формула:P_np =, где Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников: (3**)

2.Формула трапеций.

Возьмём определённый интеграл∫ f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция fзаменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат y_{i -1} и y_i (i=1,2,…,n).Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y_{i -1} и y_i и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) hэто Δx,aΔx=(b-a)/n при делении отрезка на nравных отрезков при помощи точек x₀ =a<x₁ <…<x_n =b. Прямые x=x_k разбивают криволинейную трапецию на nполосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.

Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту.

S=

Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:

(4)

Формула (4) и есть формула трапеций

Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула:где

3.Формула Симпсона (формула парабол).

Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет.

А) с использованием параболы.

Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x₀ ,x₁ ], [x₁ ,x₂ ] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M₀ [x₀ ,y₀ ], M₁ [x₁ ,y₁ ], M₂ [x₂ ,y₂ ] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид: .

Коэффициенты A, Bи C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму.

Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой , осью O_x и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна: (5), где y₀ и y₂ - крайние ординаты, а y₁ - ордината кривой в середине отрезка.