Реферат: Давид Гильберт 2

Гильберт уже был некоторое время знаком с проблемой Гордана; однако теперь, слушая самого Гордана, он почувствовал ее гораздо глубже, чем раньше. Проблема заняла его воображение почти со сверхъестественной силой.

Здесь налицо была проблема, обладающая всеми чертами великой глубокой проблемы, к которым Гильберт причислял следующие:

· ясная и легко понимаемая (“в то время как ясное и простое привлекает, сложное отталкивает“);

· трудная (“чтобы нас привлекать“) и в то же время не полностью недоступная (“чтобы не сделать безнадежными наши усилия“);

· важная (“путеводная звезда на извилистых тропах к сокрытым истинам“).

Мысли об этой проблеме не оставляли Гильберта во время всего его математического путешествия. Дома, в Кенигсберге, эти мысли не покидали его ни во время работы, ни на отдыхе, ни даже на танцах, которые он так любил посещать. 6 сентября 1888 года Гильберт послал короткую заметку в журнал Геттингенского научного общества. В этой заметке он дал набросок совершенно неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана, годного одновременно для форм от любого числа неизвестных. Эта работа была первым примером черты, характерной для мышления Гильберта, как выразился позже один из его учеников: “Естественная наивность мысли, не покоящаяся на авторитете или предшествующем опыте”. Вскоре после опубликования полного доказательства теоремы знаменитый ”король инвариантов” Гордан изумленно воскликнул: “Это не математика. Это теология!”

Решение Гильберта не было конструктивным, оно лишь доказывало существование базиса, но не давало явной конструкции для его построения. В последующие два года Гильберт не оставляет проблему Гордана, пытаясь дать ей конструктивное доказательство. В 1892 году ему удалось предложить метод, позволяющий за конечное число шагов получить искомую конструкцию.

Хотя Гильберт не был первым, кто использовал косвенные, неконструктивные доказательства, он был первым, кто осознал их глубокое значение и силу, а также смог воспользоваться ими в драматических и чрезвычайно красивых ситуациях.

При решении проблемы Гордана Гильберт нашел себя и свой метод атаки знаменитой проблемы, решение которой по своему значению намного превосходило саму проблему.

В заключении своей работы по теории инвариантов он писал: “Тем самым мне кажется, что важнейшие цели теории функциональных полей инвариантов достигнуты”. После этого Гильберт покидает теорию инвариантов.

Теория чисел

В последующие три года Гильберт повышался в академических рангах и делал то, что делает в этот период времени большинство молодых людей: женился, стал отцом, получил важное назначение. Наряду с переменами в личной жизни и общественном положении Гильберт начал проявлять и новый математический интерес. “Отныне я целиком посвящу себя теории чисел”, — писал он своему другу Минковскому вскоре после окончания последней работы об инвариантах. Теперь он занялся этой новой областью.

Хорошо известно, что Гаусс считал теорию чисел вершиной науки. Он отозвался о ней как о “неистощимом источнике новых истин”. Гильберт относился к теории чисел как к “зданию редкой красоты и гармонии”, его привлекала красота ее фундаментальных законов, малое количество определений и чистота ее истин. Гаусс и Гильберт в равной степени были восхищены различием между очевидностью формулировок и “чудовищной” трудностью их доказательств.

В последующие годы Гильберт интенсивно занимается теорией чисел. Ему удалось найти чрезвычайно легкие и простые доказательства трансцендентности чисел e и pi, а также теорем о разложении алгебраических чисел на простые идеалы. В то время Германское математическое общество ежегодно публиковало обширные обзоры в различных областях математики. Очередной обзор по теории чисел было решено поручить подготовить Гильберту и Минковскому. Гильберт с усердием принимается за новую и интересную для него работу. Хотя до сих пор он не питал склонности к изучению теории по книгам, теперь он прочитал все изданное по теории чисел со времен Гаусса. Доказательства всех известных теорем надо было обдумать. Затем ему следовало отобрать из них те, “идеи которых поддаются обобщению и наиболее перспективны для дальнейших исследований”. Однако для этого необходимо было провести эти “дальнейшие исследования”. Кроме того, нужно было устранять те трудности стиля и мышления предшествующих исследователей, которые ставили преграду для общего понимания и признания их работ. На проведение всех этих обширных работ Гильберту понадобилось три года (Минковский вскоре выбыл из участия в этом проекте). Монументальный обзор Гильберта появился в 1896 году. Представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил все то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину литературы. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму.

В 1895 году по приглашению Клейна Гильберт приезжает работать в Геттингенский университет. Великая научная традиция Геттингена идет от Карла Фридриха Гаусса, который всю свою жизнь провел в этом городе, оставив след во всех областях чистой и прикладной математики. В конце жизни, заняв в истории своей науки место наряду с Архимедом и Ньютоном, он всегда вспоминал свои первые годы в Геттингене как счастливые. Гильберт приехал в Геттинген через сто лет после Гаусса, знаменитый университет получил еще одного великого математика, который продолжил традицию.

За восемь с половиной лет в Кенигсберге Гильберт не повторил ни одного предмета, сделав только “одно небольшое исключение” — одночасовой курс по определителям. Теперь в Геттингене ему было легко выбирать темы своих лекций, согласованных с пожеланиями Клейна. В первом семестре он читал курсы по теории определителей и эллиптических функций, а также вместе с Клейном каждое утро по средам вел семинар по действительным функциям.

Закончив свой обзор, Гильберт занялся давно задуманными собственными исследованиями. Главным его интересом было обобщение закона взаимности на поля алгебраических чисел. В классической теории чисел квадратичный закон взаимности, известный еще Лежандру, был вновь открыт и впервые строго доказан Гауссом, когда тому было 18 лет. Гаусс всю жизнь считал его жемчужиной теории чисел и возвращался к нему много раз, найдя пять различных доказательств. Этот закон описывает замечательные соотношения между парой простых чисел и остатками от деления квадратов целых чисел на них.

Изучая классический закон взаимности Гаусса, Гильберт смог переформулировать его в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Это позволило ему с необычайной ясностью угадать формулировку закона взаимности для степеней, больших 2, хотя он и не смог доказать его во всех случаях. Венцом его работы в этой области была статья ”О теории относительно абелевых полей”. В этой работе, программной по своему характеру, он дал набросок обширной теории, получившей известность как теория полей классов, и развил методы и понятия, необходимые для дальнейших исследований. Будущим математикам это казалось “божественным откровением” — ни в одной из работ Гильберта не была так явно продемонстрирована его математическая интуиция. В отличие от работы, положившей конец развитию теории инвариантов, работе по полям алгебраических чисел было суждено стать началом исследований. Сам Гильберт неожиданно перешел в другую область.

Основания геометрии

Новым увлечением Гильберта стала геометрия. Начав читать курс лекций по этой науке, Гильберт предложил положить в основания геометрии простой и полный список независимых аксиом, позволяющий доказать давно известные теоремы классической геометрии Евклида. Его подход — оригинальное сочетание абстрактной точки зрения и конкретного традиционного языка — был особенно эффективным. Выбрав систему аксиом евклидовой геометрии, немногим отличавшуюся по духу от аксиом самого Евклида, Гильберт смог менее формально и с большей убедительностью и ясностью, чем Пеано или Паш, продемонстрировать существо аксиоматического метода.

Одно дело — построить геометрию на прочном основании, и совсем другое — исследовать логическую структуру построенного сооружения. Гильберт систематически изучает взаимную независимость своих аксиом и устанавливает независимость некоторых из самых фундаментальных геометрических теорем от той или иной ограниченной группы аксиом. Его метод основан на построении моделей: показывается, что модель противоречит одной из аксиом и удовлетворяет требованиям всех остальных, из чего следует, что первая не может быть следствием остальных. Вопрос о непротиворечивости тесно связан с вопросом о независимости. Относящиеся сюда общие идеи кажутся нам теперь почти банальными, настолько радикальным оказалось их влияние на наше математическое мышление. В 1899 году публикуется классическая книга Гильберта “Основания геометрии”, в которой он систематически излагает все полученные им результаты.

Принцип Дирихле

Летом 1899 года, сразу после издания “Оснований геометрии“, Гильберт обратился к одной старой знаменитой проблеме, известной как принцип Дирихле. Суть этой проблемы составляла одна логическая трудность, на которую стали обращать внимание только со времен Вейерштрасса. Гаусс, Дирихле, Риман и другие предполагали, что всегда существует решение так называемой краевой задачи для уравнения Лапласа. Это предположение было основано на физической интуиции, позволяющей всегда считать, что в соответствующей реальной ситуации, описываемой этой краевой задачей, должен быть определенный физический результат, а значит, и решение. Кроме того, с чисто математической стороны Гаусс заметил, что краевая задача для этого же уравнения может быть сведена к задаче минимизации некоторого двойного интеграла от функций с непрерывными частными производными, имеющих заданные граничные значения. В силу положительности этого двойного интеграла должна была существовать наибольшая нижняя грань для его значений, из чего он делал вывод, что для одной из рассматриваемых функций этот интеграл принимал значение этой грани. Рассуждение такого рода стало известно под названием принципа Дирихле. Однако позже Вейерштрасс подверг критике принцип Дирихле. Как указывал Вейерштрасс, предположение о том, что среди допустимых функций должна существовать та, на которой интеграл принимает наименьшее значение, не является обоснованным с математической точки зрения. Более того, Вейерштрасс построил пример, в котором нельзя было найти функции, минимизирующей интеграл, при заданных граничных значениях. Это могло бы означать конец принципа Дирихле, но этого не случилось. К тому времени, когда Гильберт обратился к принципу Дирихле, математики потеряли всякую надежду на его спасение. В сентябре 1899 года Гильберт смог предъявить Германскому математическому обществу первую попытку того, что он назвал “воскрешением принципа Дирихле“. Основная идея Гильберта заключалась в том, что при более сильных ограничениях на функции, участвовавшие в задаче, можно добиться того, что принцип Дирихле будет выполняться.

23 математические проблемы

Именно в период этой необычайно разнообразной деятельности к Гильберту прибыло предложение выступить с одним из основных докладов на втором Международном конгрессе математиков в Париже летом 1900 года. Открывающееся перед ним новое столетие манило, как чистый лист бумаги. Ему хотелось произнести речь, которая соответствовала бы важности этого события. Гильберт решает сделать доклад о будущем математики в двадцатом столетии. В своем знаменитом докладе Гильберт сформулировал 23 отдельные проблемы, решения которых, по его убеждению, сыграют важную роль в прогрессе математики в наступающем столетии. Первые шесть проблем относились к основаниям математики, к тому, что, по его мнению, явилось великим достижением только что окончившегося столетия: открытие неевклидовой геометрии и прояснение арифметической природы континуума. Другие проблемы были более специальны и индивидуальны, частью старые и хорошо известные, частью новые, однако все они затрагивали прошлые, настоящие или будущие интересы Гильберта. Доклад Гильберта полностью захватил воображение всего математического мира. Его практический опыт давал основание надеяться, что эти проблемы удовлетворяют сформулированным Гильбертом критериям великих математических проблем и что настанет время, когда они будут полностью решены. Его быстро растущая слава, уступавшая теперь лишь славе Пуанкаре, обещала всеобщее признание любому математику, который решит хотя бы одну из парижских проблем.

Интегральные уравнения

Зимой 1900 – 1901 гг. один студент из Швеции принес на семинар Гильберта недавно опубликованную работу по интегральным уравнениям, принадлежавшую его соотечественнику Ивару Фредгольму.

Интегральные уравнения — это функциональные уравнения специального типа, история которых тесно связана с задачами математической физики, в частности с проблемой колебания твердого тела. Теория таких уравнений развивалась очень медленно. Однако теперь Фредгольм дал красивое и оригинальное решение одного класса таких уравнений, которое открывало соблазнительную аналогию между интегральными уравнениями и алгебраическими линейными уравнениями.

Интегральные уравнения полностью захватили Гильберта. Отныне он говорил со своими студентами только об интегральных уравнениях. Начало его исследований напоминало прежний подход Гильберта к нерешенным задачам. В первой работе, опубликованной в виде сообщения Геттингенского научного общества, он предложил один простой и оригинальный вариант теории Фредгольма, который раскрывал ее основную идею более отчетливо, чем работа самого Фредгольма. В ней также можно было найти намеки на его будущие свежие и плодотворные идеи. Обладая интуитивным пониманием связей, лежащих в основе различных частей математики, а также между математикой и физикой, Гильберт пришел к выводу, что уравнения Фредгольма смогут приоткрыть завесу над целой серией ранее недоступных проблем анализа и математической физики. Теперь он поставил перед собой цель объединить на единообразной теоретической основе как можно больший круг вопросов, связанных с линейными задачами анализа.