Реферат: Давид Гильберт 2
Вступление
Давид Гильберт был одним из истинно великих математиков своего времени. Его труды и его вдохновляющая личность ученого оказали глубокое влияние на развитие математических наук в первой половине двадцатого века. Давид Гильберт был универсальным математиком, широта его научных исследований поражает: теория инвариантов, теория алгебраических числовых полей, основания геометрии и математики в целом, интегральные уравнения, физика. Но та роль, которую сыграл Гильберт в развитии математики, заключается даже не в его трудах, а в том влиянии, которое он оказал на своих современников, в созданной им математической школе. Работы многих математиков вплоть до нашего времени несут отпечаток его мышления, во всех математических достижениях нашего времени есть немалая заслуга Давида Гильберта.
Детство и юность
Давид Гильберт родился 23 января 1862 года ровно в час дня в городке Велау вблизи Кенигсберга. Автобиография и семейная хроника, оставленные основателем кенигсбергской ветви семьи Гильбертов, знакомят нас с родословной Давида по отцовской линии. Уже в семнадцатом веке Гильберты были известны в Саксонии. В начале восемнадцатого столетия некто Иоганн Христиан Гильберт, начав с медика, стал преуспевающим оптовым торговцем кружевами. К несчастью, он умер, оставив своих детей совсем маленькими, а его наследство было промотано опекунами. Нужда заставила его сына Христиана Давида Гильберта пойти в ученики к цирюльнику. Служба военным цирюльником забросила его в Кенигсберг. Один из многочисленных детей Христиана Давида — Давид Фюрхтготт Леберехт был дедом Давида. Он был судьей. Его сын Отто занимал к моменту рождения Давида должность окружного судьи.
Немного известно о родословной Давида по материнской линии. Карл Эрдтман был купцом из Кенигсберга, его дочь Мария Тереза стала матерью Давида. Это была необычайная женщина — “оригинал“ в немецком понимании этого слова. Она интересовалась философией, астрономией и была очарована простыми числами.
Раннее обучение Давида носило отпечаток прусских черт пунктуальности, бережливости, преданности долгу, усердия, дисциплины и уважения к закону. Должность судьи отцу Давида досталась продвижением по гражданской службе. Это была удобная и надежная карьера для консервативного человека. По рассказам, судья Гильберт был довольно ограниченным человеком, со строгими взглядами на добропорядочное поведение.
Давид начал ходить в школу с восьми лет. Обычным возрастом для поступления в школу было шесть лет, и опоздание на два года указывает, что, по-видимому, первые уроки Давид получил дома от своей матери. Она была уже почти инвалидом и, как говорят, большую часть времени проводила в постели.
В подготовительной школе королевского Фридрихсколлега Давид получил первые уроки, необходимые для гуманитарной гимназии. В нее он должен был поступить, если бы пожелал получить специальность, духовный сан или стать университетским профессором. Эти уроки включали чтение и письмо на латинском и греческом, правописание, части речи, анализ простых предложений, важные библейские истории и простую арифметику, включавшую сложение, вычитание, умножение и деление небольших чисел.
Упоминаний о том, что в это время на кого-нибудь произвели впечатления способности Гильберта, нет. Позже он вспоминал себя как тупого и глупого в юности. Наверное, это было преувеличением, ибо, как позже заметил один из его друзей, “за всем, что ни говорил Гильберт, как бы парадоксально это ни звучало, всегда чувствовалось его страстное и трогательное стремление к истине”.
Гимназия, которую выбрали для Давида его родители, считалась лучшей в Кенигсберге. Это была старинная частная школа, основанная в начале семнадцатого столетия и имевшая в числе своих выпускников самого Канта. Тем не менее, этот выбор был весьма неудачным. В то время в Кенигсберге было редкостное сосредоточение будущих научных талантов. Альштадскую гимназию одновременно посещали Макс и Вилли Вины, Арнольд Зоммерфельд и Герман Минковский. Однако Давиду, посещавшему Фридрихсколлег, не пришлось в свои школьные годы познакомиться ни с одним из этих мальчиков.
К несчастью для Гильберта, Фридрихсколлег был очень традиционным заведением со строго установленной учебной программой. Слово “гимназия” объяснялось тем, что такая школа была предназначена для гимнастики ума ребенка. С этой целью изучению латинского и греческого языков придавалось особое значение. По традиции после древних языков математика больше всего ценилась как средство укрепления силы ума. Однако во Фридрихсколлеге ее преподавание велось на значительно худшем уровне, чем преподавание латинского и греческого. Естественные науки вообще не преподавались.
У Давида были очень плохие способности к заучиванию наизусть, а в Фридрихсколлеге запомнить и изучить было одно и то же. Не особенно быстро он усваивал и новый материал. Казалось, он никогда не мог понять то, чего предварительно не проработал в собственном мозгу. Наконец, он нашел школьный предмет, соответствовавший его наклонностям и доставлявший ему нескончаемое удовольствие. Позже он вспоминал, что впервые почувствовал тягу к математике потому, что она была легкой, не требовавшей усилий.
В сентябре 1879 года, в начале последнего учебного года в гимназии, Давид перешел из Фридрихсколлега в Вильгельм-гимназию. Это была государственная школа, в которой уделялось значительно большее внимание математике, даже затрагивались некоторые новые достижения в геометрии. В той же гимназии учился юный вундеркинд и будущий большой друг Гильберта — Герман Минковский.
Учеба в университете
Осенью 1880 года Гильберт поступил в университет. Большой удачей для него было то, что университет его родного города, хотя и отдаленный от основного центра событий в Берлине, по своим научным традициям являлся одним из самых выдающихся в Германии. Якоби преподавал в Кенигсберге тогда, когда во времена Гаусса он считался вторым математиком в Европе. Его преемнику Ришело принадлежит заслуга открытия гения Вейерштрасса в работах неизвестного учителя гимназии. Разносторонний Франц Нейман организовал в Кенигсберге первый институт теоретической физики при германском университете и ввел семинарскую форму занятий.
Гильберт почувствовал себя в университете настолько же свободным, насколько стесненным он чувствовал себя в гимназии. Преподаватели факультета сами выбирали предметы, которым они хотели учить, а студенты выбирали те предметы, которые они хотели изучать. Не было никаких особых требований, минимальных количеств баллов, перекличек, никаких экзаменов до тех пор, пока не наступала пора получать степень. Естественно, что на такую неожиданную свободу многие реагировали тем, что проводили первые университетские годы в традиционных занятиях — попойках и дуэлях. Однако для 18-летнего Гильберта университет представлял нечто более привлекательное — долгожданную свободу сконцентрироваться на математике. Никаких сомнений по поводу будущих занятий у Гильберта не было. Вопреки желаниям отца он записался не на юридический, а на математический курс.
Во время своего первого семестра в университете Гильберт слушал лекции по интегральному исчислению, теории определителей и кривизне поверхностей. Во втором семестре, следуя популярному обычаю странствовать по университетам, он отправляется в Гельдельберг. Там Гильберт посещал лекции Лазаруса Фукса, имя которого стало синонимом теории линейных дифференциальных уравнений. Его лекции были очень впечатляющими, но с довольно необычной стороны. Редко готовясь к лекциям, он, как правило, импровизировал на месте. Благодаря этому его студенты имели возможность наблюдать в действии мышление математика высочайшего уровня. В следующем семестре Гильберт мог бы переехать в Берлин, где находилось настоящее созвездие ученых: Вейерштрасс, Куммер, Кронекер и Гельмогольц. Однако будучи, подобно отцу, глубоко привязанным к городу своего детства, он вернулся в Кенигсбергский университет.
В это время в Кенигсберге был только один полный профессор математики. Это был Генрих Вебер, исключительно одаренный и многогранный человек. Ему принадлежат значительные вклады в столь различные области как теория чисел и математическая физика. У Вебера Гильберт слушал лекции по теории чисел и теории функций и впервые познакомился с теорией инвариантов, самой модной математической теорией того времени. В следующем семестре — весной 1882 года — Гильберт снова решил остаться в родном университете.
Окончив восьмисеместровый университетский курс, необходимый для получения докторской степени, Гильберт начал обдумывать возможные темы для диссертации. В ней он должен был получить какие-нибудь оригинальные результаты в математике. Сначала он намеревался заняться исследованием одного обобщения непрерывных дробей. С этим он подошел к своему научному руководителю Линдеману. Тот сообщил, что, к сожалению, такое обобщение уже было сделано Якоби, и порекомендовал вместо этого взять задачу из теории алгебраических инвариантов. Проблема, которую Линдеман предложил Гильберту для диссертации, касалась вопроса о свойствах инвариантов некоторых алгебраических форм. Она была довольно трудной для докторской диссертации, однако не настолько, чтобы нельзя было ожидать ее решения. Проявив оригинальность, Гильберт решил ее способом, отличным от того, который, по общему мнению, мог привести к успеху. Это была очень хорошая работа. Линдеман был удовлетворен.
Этим Гильберт вступил на первую ступень академической карьеры. Если бы его карьера сложилась удачно, он смог бы добиться конечной цели — стать полным профессором. Будучи же просто доктором философии, он не имел права даже читать лекции студентам. Для этого ему нужно было выполнить еще одно оригинальное математическое исследование и представить его в качестве хабилитации. В случае одобрения факультетом, ему было бы присуждено звание приват-доцента и право без оплаты читать лекции под поручительством университета. Будучи таким доцентом, он должен был существовать на средства, получаемые с оплаты за обучение от студентов, изъявивших желание слушать его лекции. Так как курсы, посещаемые всеми студентами, читались членами факультета, Гильберту, в лучшем случае, пришлось бы вести класс из пяти или шести студентов и испытать большие трудности. В качестве спасения от превратностей такой карьеры молодой доктор мог сдавать государственный экзамен, дающий право стать учителем гимназии. Учтя это, Гильберт начал готовиться к государственному экзамену, который сдал в мае 1885 года.
Первые научные шаги
Вскоре после сдачи экзамена Гильберт отправляется в свое первое научное путешествие в Лейпциг к Феликсу Клейну, там он посещает лекции Клейна и принимает участие в его семинаре. Личность Клейна не могла не произвести на Гильберта впечатление. Это был красивый человек с темными волосами и черной бородой, со светящимися глазами. Его лекции по математике почитались всеми и распространились даже в Америке. Что касается реакции Клейна на молодого доктора из Кенигсберга, то он заботливо хранил его доклад, с которым Гильберт выступал на семинаре, и позже писал: “Когда я услышал его доклад, я сразу же понял, что у этого человека большое будущее в математике”. В Лейпциге Гильберт познакомился с рядом других математиков. Одним из них был Георг Пик, а другим Эдуард Штуди, основным интересом которого, как и у Гильберта, была теория инвариантов.
В Лейпциге было значительно больше людей, интересующихся теорией инвариантов, однако Клейн направил все свои усилия, чтобы уговорить Штуди и Гильберта ехать на юг в Эрланген навестить своего друга Пауля Гордона, который в то время был известен как “король инвариантов”.
Летом 1886 года Гильберт совершает поездку в Париж, где знакомится с крупными французскими математиками: Пуанкаре, Жорданом, Эрмитом и другими. Возвращаясь обратно, Гильберт впервые посещает Геттингем — маленький уютный городок, в котором ему будет суждено жить и работать большую часть своей жизни. Вернувшись в Кенигсберг, он серьезно занялся хабилитацией. Работа, которую он готовил, была также посвящена теории инвариантов, однако ставила более серьезные цели, чем обычные докторские диссертации. Соискатель хабилитации должен был также прочитать лекцию на одну из выбранных им тем, которая была одобрена факультетом. Гильберт предложил две темы: “Самые общие периодические функции” и “Понятие группы”. Факультет выбрал первую из них, что больше устраивало и Гильберта. Этой лекцией остались довольны все; также успешно прошел и устный экзамен. 8 июля 1886 года Гильберт получил хабилитацию.
Гильберт решил, что, став доцентом, он будет читать лекции на разные темы, не повторяясь, как это делали многие другие, и тем самым будет образовывать не только своих студентов, но и себя самого. В первом семестре Гильберт подготовил лекции по теории инвариантов, определителям и гидродинамике.
Проблема Гордона
В начале 1888 года Гильберт предпринимает еще одно математическое путешествие, его маршрут включает посещение 21 видного математика. Поскольку в то время основной специальностью Гильберта была теория инвариантов, то первым делом он направляется в Эрланген, чтобы повстречаться со знаменитым “королем инвариантов“ — Паулем Горданом.
Пауль Гордан ярко выделялся своей личностью среди математиков того времени. Будучи на двадцать лет старше Гильберта, он довольно поздно занялся наукой. Большой удачей для Гордона было то, что время его первых занятий теорией инвариантов совпало с началом нового этапа в ней. Первые годы ее развития были посвящены исследованию общих законов, которым подчиняются инварианты; на следующем этапе началось методическое построение и классификация инвариантов, что и послужило пищей для Гордана. В начале своей карьеры он сделал первый прорыв в знаменитой проблеме инвариантов. За это ему и присвоили титул “короля инвариантов“. Общая проблема, все еще не решенная и ставшая самой знаменитой в этой теории, была названа в его честь “Проблемой Гордана“.
“Проблема Гордана“ была совсем не похожа на задачи типа “найти x”, с которых начиналась алгебра много веков назад. Это была абстрактная, чисто математическая проблема, вызванная не окружающим нас физическим миром, а развитием самой математики. К этому времени стала известна внутренняя структура всех инвариантных форм. Существовал метод, который позволял выписать все различные инвариантные формы заданной степени от заданного числа неизвестных. Новая проблема имела совершенно другой характер, так как относилась к множеству всех инвариантов. Существует ли базис, т. е. конечная система инвариантов, через которые рационально или полиноминально выражается любой другой из бесконечного числа инвариантов.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--