, , , (6)

де С – довільна стала. Формула (6) називається загальним розв'язком рівняння (5). Тоді у = (х+с)² , при чому х+с>Q. В півплощині у>0 функція у = (х+с)² є розв'язком початкового рівняння, тут х+с>0, тому ч>-с.

Припустимо, що через кожну точку областіD₁ проходить єдина інтегральна крива рівняння (2). Загальним розв'язком рівняння (2) в області D₁ називається функція у = φ (х, с),

Яка: 1) є розв'язком рівняння (2) при всіх значеннях довільної сталої;

2) дає розв'язок Коші є довільними початковими даними (х₀ , у₀ ) з області D₁ при відповідному значення С=С₀ .

Геометрично розв'язок (6) являє собою сім'ю пів парабол в області D₁ . Коєжнак інтегральна крива одержується з пів параболи у=х² , х>0 зсувом вліво та вправо на осі О_х .

Безпосередньою підстановкою переконуємось, що рівняння (5) має розв'язок у=0, який не можна одержати ні при якому значенні довільної сталої С.

Розв'язок у=0 називається особливим розв'язком рівняння (5)

у

0 х

Частинним розв'язком рівняння (2) називається розв'язок цього рівняння при фіксованому значенні величини С.

Для знаходження частинного розв'язку, який відповідає початковій умові, потрібно підставити х₀ і у₀ у рівняння (7) і визначити С = С₀ з рівняння

У₀ =φ (х₀ , С) (8)

Шуканий частинний розв'язок матиме вигляд У₀ =φ (х, С₀ ) . Особливим розв'язком рівняння (2) називається такий його розв'язок, який не може бути одержаним ні при якому значенні С. Отже, виходить, що інтегральна крива, яка відповідає особливому розв'язку, проходить поза областю єдності задачі Коші.

5. Розглянемо деякі задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.

Приклад 1. Дослідним шляхом встановлено, що швидкість розмноження бактерій в будь-який момент часу додатня і пропорційна їх масі. Знайти залежність маси бактерій від часу.

Позначимо m (t) масу бактерій в момент часу t; тоді - швидкість розмноження цих бактерій. Згідно умові задачі швидкість розмноження пропорційна масі m (t) бактерій, тому - km (t) (9), де k>0. Рівняння (90 містить шукану функцію m (t) і її похідну, тому є диференціальним рівнянням. Переконаємось, що будь-яка функція виду (10) де С – довільна змінна, є розв'язком рівняння 9.

Дійсно, замінивши в рівнянні (9) mйогозначенням з рівності (10) маємо

Одержали тотожність, отже, дійсно функція (10) є розв'язком рівняння (9). Так як функція m (t) – ce^kt означає масу бактерій в залежності від часу t, то задача розв’язана в загальному вигляді (10) є загальним розв'язком рівняння (9). При цьому коефіцієнт kзалежить від виду бактерій і від зовнішніх умов.

Якщо ми знаємо значення k і масу то бактерій і деякий момент часу t₀ , то за формулою (10) одержимо масу бактерій в будь-який момент часу t. Дійсно, нехай (11)

Тоді, m₀ – ce^kt , c- m₀ – ce^{- kt} отже (12)

Функція (11) є розв'язком рівняння (9) і, крім того, задовольняє умові (11).

Умова (11) називається початковою умовою.

Таким чином, рівняння 9 має безліч розв'язків, а завдання початкової умови виділяє єдиний розв'язок з цієї множини.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Яке рівняння називається диференціальним?

2. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням першого порядку?

3. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням другого порядку?

4. Що називається порядком диференціального рівняння?