Реферат: Динамическое программирование

Довольно часто на олимпиадах встречаются задачи, провоцирующие к применению алгоритмы перебора. Но простой подсчет числа вариантов убеждает в неэффективности такого подхода. Для решения таких задач используется метод динамического программирования. Суть его заключается в том, что для отыскания решения поставленной задачи решается похожая (или похожие), но более простая. При этом осуществляется переход к еще более простым и так далее, пока не доходят до тривиальной.

Из предыдущего рассуждения видно, что решение можно оформить рекурсивно. Но простое применение этого приема очень легко может привести к переполнению стека. Необходимо позаботиться об оптимизации рекурсивных проходов и не вычислять одно и то же значение несколько раз, сделать так называемое отсечение. Можно вообще отказаться от рекурсии и решать задачу "наоборот" — прежде "решить" тривиальные случаи, а затем переходить ко все более сложным. В авторских решениях подобных задач почти всегда встречается второй путь (он несколько быстрее), но в этом занятии рассмотрим оба — первый гораздо доступнее для понимания.

Для решения таких задач существует специальная теория, большая заслуга в ее создании принадлежит Р.Беллману. В общем виде она достаточна сложна, поэтому здесь не рассматривается. В то же время конкретные задачи, рассмотренные ниже, вполне могут сформировать (хотя бы на интуитивном уровне) идеи, лежащие в основе решения задач данного класса.

Первые две задачи, строго говоря, нельзя отнести к указанному классу, но приемы, использованные при их решении, очень сходны с таковыми у задач, рассматриваемых на этом занятии. Остальные задачи в свое время встречались на различных олимпиадах (а некоторые с тех пор стали "фольклорными") и расположены (по мнению автора публикации) в порядке возрастания сложности. Для простоты будем считать, что в большинстве задачах исходные данные таковы, что результат поместится в тип LongInt. Справедливости ради отметим, что такое ограничение существует не всегда, и в последних двух задачах приходится либо использовать тип Double, либо дополнительно реализовывать "длинную арифметику".

Числа Фибоначчи

Вычислить N-ое число в последовательности Фибоначчи, — 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... — в которой первые два члена равны единице, а все остальные представляют собой сумму двух предыдущих.

Формат входных данных

Одно число 0<N<47.

Формат выходных данных

Одно число — N-ый член последовательности.

Мячик на лесенке

На вершине лесенки, содержащей N ступенек, находится мячик, который начинает прыгать по ним вниз, к основанию. Мячик может прыгнуть на следующую ступеньку, на ступеньку через одну или через 2. (То есть, если мячик лежит на 8-ой ступеньке, то он может переместиться на 5-ую, 6-ую или 7-ую.) Определить число всевозможных "маршрутов" мячика с вершины на землю.

Формат входных данных

Одно число 0<N<31.

Формат выходных данных

Одно число — количество маршрутов.

Черепашка

На квадратной доске расставлены целые неотрицательные числа. Черепашка, находящаяся в левом верхнем углу, мечтает попасть в правый нижний. При этом она может переползать только в клетку справа или снизу и хочет, чтобы сумма всех чисел, оказавшихся у нее на пути, была бы максимальной. Определить эту сумму.

Формат входных данных

Первая строка — N — размер доски.

Далее следует N строк, каждая из которых содержит N целых чисел, представляющие доску.

Формат выходных данных

Одно число — максимальная сумма.

Робот

В исследовательской лаборатории фирмы Robots&Co разработали новую модель робота. Главной особенностью данной модели робота является то, что он работает по заранее заданной программе, в которой могут присутствовать команды: сделать шаг на Юг, на Север, на Восток или на Запад. Робот исполняет программу строго последовательно и, дойдя до конца программы, останавливается. Специалисты из Robots&Co заинтересовались вопросом, сколько существует различных программ, состоящих из K инструкций, таких, что робот, выйдя из начала координат, придет в точку с координатами (X, Y). Оси координат располагаются параллельно сторонам света, и единица измерения, соответствует одному шагу робота. Напишите программу, которая дает ответ на этот вопрос.

Формат входных данных

Во входном файле находятся три числа K, X и Y (0<=K<=16, |X|, |Y| <= 16), разделенные пробелами.

Формат выходных данных

В выходной файл ваша программа должна поместить одно число — количество программ для робота.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--