Реферат: Дискретизация обычных и двумерных сигналов

Из выражения (9) следует, что устройством, позволяющим выделить из спектра дискретизованного сигнала Х(ti) составляющую, полностью совпадающую со спектром исходного сигнала Х(t), является идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотной характеристикой вида

(10)

При этом спектры, соответствующие различным значениям k, могут быть разделены только при условии их неперекрываемости. Неперекрываемость же спектров обеспечивается при выполнении условия

Fm ≥ 1/ Δt - Fmили Δt ≤ 1/ 2Fm, (11)

откуда и вытекает значение интервала дискретизации Δt, обеспечивающего восстановление исходного сигнала Х(t) по последовательности его отсчетов.

Импульсная переходная характеристика фильтра, восстанавливающего непрерывный сигнал по дискретной последовательности его отсчетов, может быть получена как преобразование Фурье от частотной характеристики (11) и имеет вид

h(t) = F-1 {H(f) } = sinc (2pFmt). (12)

Пропуская дискретную последовательность Х(ti) через фильтр с импульсной характеристикой h(t), получим исходный непрерывный сигнал:

(13)

Процесс дискретизации непрерывной функции X(t) и ее восстановления по дискретной последовательности отсчетов X(ti) иллюстрируется рис.1:

Рис. 1.

Таким образом, по дискретной последовательности отсчетов функции Х(i Dt) всегда можно восстановить исходную непрерывную функцию Х(t), если отсчеты брались с интервалом Dt £ 1/2Fm. Это говорит о том, что не существует принципиальных различий между непрерывными и дискретными сигналами. Любой непрерывный сигнал с ограниченным спектром (а все реальные сигналы имеют ограниченный спектр) может быть преобразован в дискретную последовательность, а затем с абсолютной точностью восстановлен по последовательности своих дискретных значений. Последнее позволяет также рассматривать источники непрерывных сообщений как источники дискретных последовательностей, переходить, где это необходимо и удобно, к анализу дискретных сообщений, осуществлять передачу непрерывных сообщений в дискретной форме и так далее.

Практические вопросы дискретизации реальных сигналов

Сообщения, передаваемые по каналам связи (речь, музыка, телевизионный сигнал, телеметрические данные и т.д.), на практике являются функциями с ограниченным спектром. Например, верхняя частота спектра Fm примерно равна: для речи - 3,5 кГц, для музыки - 10 - 12 кГц (удовлетворительное воспроизведение), для телевизионных сигналов - 6 МГц.

Некоторая некорректность состоит в том, что теорема отсчетов доказана для функций Х(t), заданных на неограниченном интервале t Î (-¥, ¥). Соответственно отсчеты { Х(i Dt),i = 0, ±1, ±2,. . } представляют собой бесконечную последовательность. Однако в реальных условиях сообщения Х(t) имеют начало и конец, а следовательно, конечную длительность T< ¥. Условия финитности спектра и конечной длительности сообщения, строго говоря, несовместимы. Спектр функции с конечной длительностью теоретически имеет значения, отличные от нуля, при любых значениях частоты FÎ(-¥, ¥). Тогда при любом выборе шага дискретизации Dt соседние боковые полосы спектра (см. рис.1) перекрываются, и на выходе идеального фильтра нижних частот с частотой среза F = 1/2Dt будет восстановлен сигнал Х*(t), не полностью совпадающий с исходным сигналом Х(t). Во-первых, отсекаются частотные составляющие спектра с |f| >F. Во-вторых, в полосу пропускания фильтра попадают "хвосты" периодического продолжения спектра.

Вместе с тем всегда можно задать шаг дискретизацииDt (или верхнюю частоту спектра Fm=1/2Dt) так, чтобы энергия ЭD, сосредоточенная в отсекаемых "хвостах" спектра (на частотах f >1/2Dt), была пренебрежимо мала по сравнению с энергией всего сигнала Эx. Ошибка восстановления сигнала Х*(t) на выходе фильтра зависит от отношения ЭD /Эx и может быть выбором Dt (или F=1/2Dt) сделана меньше любой заданной величины. Совершенно очевидно, что если искажения сообщений, обусловленные временной дискретизацией, будут значительно меньше искажений, вызванных помехами в канале связи и допустимых техническими условиями для данной системы передачи информации, то такие искажения существенного значения не имеют и могут не учитываться.

Таким образом, приближенно можно принять, что реальные сообщения имеют конечную длительность Tи одновременно их спектры ограничены по частоте величиной Fm. При этом бесконечный ряд Котельникова (13) преобразуется в конечный с числом ненулевых отсчетов n, примерно равным отношению длительности сообщения к интервалу дискретности:

(14)

Основные формулы теоремы отсчетов для сигналов, отличных от нуля на конечном интервале tÎ (0, T), принимают вид:

(15)

(16)

(17)

Наконец, когда сигнал {X(t), tÎ(0, T) } задан конечным числом отсчетов X(0), X(Dt),. ., x(kDt), в формулах (15) - (17) в отличие от соответствующих точных формул следовало бы писать знак приближенного равенства (@). Однако обычно этого не делают.

Еще одним приближением, которое не может быть выполнено в действительности, является предположение об "идеальности" амплитудно-частотной характеристики восстанавливающего фильтра H(f). Дело в том, что фильтр с идеально прямоугольной АЧХ имеет ИПХ бесконечной длительности и не может быть реализован на практике. Фильтры же с конечной ИПХ имеют теоретически бесконечную полосу. Нетрудно показать, что влияние конечной длительности ИПХ восстанавливающего фильтра на сигнал Х*(t) имеет тот же характер, что и ограниченность интервала наблюдения функции Х(t).

Следовательно, для фильтра НЧ с заданной АЧХ всегда можно выбрать шаг дискретизацииDt таким, чтобы энергия ЭD, просачивающаяся через "хвосты" его амплитудно-частотной характеристики (на частотах f >1/2Dt), была пренебрежимо мала по сравнению с энергией всего сигнала Эx. В связи с этим на практике шаг дискретизации реальных сообщений Х(t) делают несколько меньшим, а частоту дискретизации, соответственно, – несколько большей (по крайней мере, на 30 - 50%), нежели предписывает теорема Котельникова.

Дискретизация двумерных сигналов (изображений)

Все большую часть передаваемых с использованием РТС ПИ сообщений, особенно в последнее время, составляют сигналы, являющиеся функциями не только времени - λ(t) (речь, музыка и т.п.), но и ряда других переменных, например, λ(x,y), λ(x,y,t) (статические и динамические изображения, карты физических полей и т.п.). В связи с этим естественным является вопрос: можно ли так, как это делается для временных сигналов (или других функций одной переменной), производить дискретизацию многомерных сигналов (функций нескольких переменных) ?

Ответ на этот вопрос дает теорема дискретизации для двумерных (или в общем случае - для многомерных) сигналов, которая утверждает: функция двух переменных λ(x,y), двумерное преобразование Фурье которой

(18)

равно нулю при fx ≥ fxmax и fy ≥ fymax, однозначно определяется своими значениями в равноотстоящих точках плоскости переменных x и y, если интервал дискретизации удовлетворяет условию Δx ≤ 1/2fxmax, Δy ≤ 1/2fy. Процедура дискретизации двумерной функции иллюстрируется примером, приведенным на рис.2 - 4.