Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Доказательство двумерной теоремы дискретизации основано, так же как и для одномерного случая, на однозначном соответствии между сигналами и их спектрами: одинаковым изображениям (двумерным функциям) соответствуют одинаковые спектры, и наоборот, если спектры двух функций одинаковы, то и сами эти функции равны друг другу.

Преобразование Фурье (спектр) дискретизованной двумерной функции FF{λ(iDx,jDy) } получается периодическим продолжением спектра исходной непрерывной функции λ (x,y) в точки частотной плоскости (kDfx,lDfy) (рис.5), где fxи fy - так называемые "пространственные частоты", являющиеся аналогами обычной "временной" частоты и отражающие скорость изменения двумерной функции λ (x,y) по соответствующим координатам (крупные фрагменты изображения - низкие частоты, мелкие детали - высокие частоты).

???. 5.

Аналитически это можно записать следующим образом:

(18)

Из рис.1.8. видно, что если соблюдается условие неперекрываемости периодических продолжений спектра FF{λ(iDx,jDy) }, а это справедливо при Δx ≤ 1/2fxmax, Δy ≤ 1/2fymax, то с помощью идеального двумерного ФНЧ с частотной характеристикой вида

(19)

из спектра дискретизованной функции FF{λ(iDx,jDy) } можно абсолютно точно выделить спектр исходной непрерывной функции FF{λ(x,y) } и, следовательно, восстановить саму функцию.

Таким образом, видно, что не существует принципиальных отличий в дискретизации между одномерными и двумерными (многомерными) функциями. Результатом дискретизации в обоих случаях является совокупность отсчетов функции, различия могут быть лишь в величине шага дискретизации, числе отсчетов и порядке их следования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лидовский В.И. Теория информации. - М., "Высшая школа", 2002г. – 120с.

2. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах. Учебник для ВУЗов. / В.И. Нефедов, В.И. Халкин, Е.В. Федоров и др. – М.: Высшая школа, 2001 г. – 383с.

3. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы. - . – М.: Энергоатом издат, 2005. - 440с.

4. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М: Радио и связь, 2001 г. –368 с.

5. Б. Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд.2-е, испр.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом "Вильямс", 2003 г. – 1104 с.