Реферат: Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания

Краткий обзор взглядов классиков математики на индуктивную природу математического творчества содержится, например, в [7, 8].

Математике присущ эмпирико-теоретичекий дуализм источников ее развития. Это означает, что существует два типа движущих идей современной математики: идеи естественнонаучного, эмпирического происхождения и теоретические идеи, появившиеся внутри математики.

Дж. фон Нейман [2] называет два раздела математики, идеи которых имеют заведомо эмпирическое происхождение – геометрию и математический анализ. Это именно те ее разделы, к которым как нельзя лучше применимо название “чистая математика”. Более того, создание математического анализа “в большей мере, чем что либо другое, знаменует рождение современной математики”. К разделам второго типа, изобретенным для внутреннего, математического потребления, Дж. фон Нейман относит абстрактную алгебру, топологию, теорию множеств. Двумя удивительными примерами служат дифференциальная геометрия и теория групп, поскольку поначалу их считали абстрактными, неприкладными дисциплинами и лишь впоследствии они нашли широкое применение в физике. Однако и поныне они развиваются в основном в абстрактном духе, далеком от приложений. Кратко говоря, “двоякий лик – подлинное лицо математики, и я не верю, что природу математического мышления можно было бы рассматривать с какой-нибудь единой упрощенной точки зрения, не принося при этом в жертву самую сущность” [2].

Эмпирический компонент источников развития достаточно хорошо отражен в практике преподавания. Действительно, изучение математического анализа по традиции начинается с рассмотрения физических задач, приводящих к понятиям производной, интеграла, дифференциального уравнения. Развитие теории, как правило, завершается ее приложениями, например, вычислением площадей, объемов, длин дуг, моментов инерции и т.д.

Иначе обстоит дело с теоретическим компонентом источников развития. Например, большинство учебников, а вслед за ними большинство преподавателей, не считают необходимым рассмотрение задач, приводящих к понятиям группы, кольца, поля, векторного пространства и т.д. Между тем обращение к ним могло бы сыграть серьезную мотивирующую роль в изучении студентами такой абстрактной математической дисциплины, какой является алгебра. По мнению автора, определенное невнимание к мотивировкам объясняется исключительно традициями преподавания и никак не связано ни с природой математики, ни с трудностями рассмотрения мотивирующих задач. Например, необходимость изучения систем линейных уравнений могла бы быть проиллюстрирована физической задачей о расчете электрической цепи, экономической задачей об определении стоимости товара, аналитической задачей о восстановлении многочлена по нескольким точкам его графика. Было бы целесообразно иметь полный список задач, приводящих к основным понятиям абстрактной алгебры.

В заключение отметим, что дуалистические свойства математики выражают ее существенные свойства, которые, именно в силу их важности, должны быть осознаны в процессе ее изучения. Для этого преподаватель должен располагать большим набором задач по всем темам изучаемых курсов, которые формируют у студентов представление о дуалистических свойствах математики. Вопрос об их оптимальном использовании следует решать в экспериментальном порядке.

Список литературы

Мордкович А.Г., Мухин А.Е. Сборник задач по введению в анализ и дифференциальному исчислению функций одной переменной. – М.: Просвещение, 1985.

Нейман Дж. фон. Математик // Природа. – 1983. – № 2. – С. 88-95.

Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Т. I. – М.: Наука, 1966.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Т. II. – М.: Наука, 1966.

Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. – Томск: Изд-во Том. ун-та. Москва: Изд-во “Барс”. – 1997.

Ястребов А.В. О процессе формулировки одной исследовательской задачи // Ярославский педагогический вестник. – № 1-2. – 1999. – С. 66-73.

Ястребов А.В. О процессе формулировки одной исследовательской задачи: окончание // Ярославский педагогический вестник. – № 3-4. – 1999. – С. 62-69.