Реферат: Двойное векторное произведение

Из этой формулы непосредственно вытекает следующее тождество Якоби:

(a×b)×c+(c×a)×b+(b×c)×a=0.

Действительно, в силу коммутативности скалярного умножения

(ac)b-(bc)a+(cb)a-(ab)c+(ba)c-(ca)b=0.

С помощью формулы (a×b)×c=(ac)b-(bc)a легко вычисляется также скалярное произведение (a×b)(x×y) двух векторных произведений. Действительно пользуясь антикоммутативностью смешанного произведения, мы немедленно получим, что

(a×b)(x×y)=((xa)y-(ya)x)b=(xa)(yb)-(ya)(xb),

то есть

Определитель в правой части этой формулы называется взаимным определителем Грамма пар векторов a,b и x,y.

При a=x и b=y формула даёт формулу

которую можно переписать также в следующем изящном виде:

|a×b|2+|ab|2 = a2 b2.

Определитель в правой части предыдущей формулы называется определителем Грамма пары векторов a и b.

Поскольку |a×b| равно площади S параллелограмма, построенного на векторах a, b, формула

равносильна формуле

в которой векторные произведения явно не участвуют. Таким образом, мы видим, что определитель Грама пары векторов равен квадрату площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Вычислив скалярные произведения через координаты мы немедленно получим следующее тождество Лагранжа :

При а3=0 , b3 = 0 («случай плоскости») тождество Лагранжа равносильно тождеству

(a21+a22)(b21+b22) = (a1b1 + a2b2)2 + (a1b2 – a2b1)2,

Известному из теории комплексных чисел (тождество выражает тот факт, что произведение модулей комплексных чисел a1+ia2 и b1+ib2 равно модулю их произведения).

Аналогом вышеприведённых формулы и тождества существует и для трёх векторов a, b, c. В нём участвует определитель

называемый определителем Грамма тройки векторов a, b, c. В координатах относительно ортонормированного базиса e1, e2, e3 , в котором векторы a, b, c выражаются по формулам

a=a1e1

b=b1e1+b2e2,

c=c1e1+c2e2+c3e3 , этот определитель имеет вид

Автоматическое вычисление показывает, что он равен a21b22c23. С другой стороны, как мы уже знаем, a1b2c3= abc. Таким образом