Реферат: Эйлеровы и гамильтоновы графы

Выход: последовательность вершин эйлерова цикла.

S:=Ш {стек для хранения вершин}

select vV {произвольная вершина}

v→S {положить v в стек S}

while S≠Ш do

v←S; v→S {v — верхний элемент стека}

if Г[v]=Ш then

v←S;

yield v

else

select uГ[v] {взять первую вершину из списка смежности}

u→S {положить u в стек}

Г[v]:=Г[v]\{u}; Г[u]:=Г[u]\{v} {удалить ребро (v,u)}

end if

end while

Обоснование алгоритма.

Принцип действия этого алгоритма заключается в следующем. Начиная с произвольной вершины, строим путь, удаляя ребра и запоминая вершины в стеке, до тех пор пока множество смежности очередной вершины не окажется пустым, что означает, что путь удлинить нельзя. Заметим, что при этом мы с необходимостью придем в ту вершину, с которой начали. В противном случае это означало бы, что вершина v имеет нечетную степень, что невозможно по условию. Таким образом, из графа были удалены ребра цикла, а вершины цикла были сохранены в стеке S. Заметим, что при этом степени всех вершин остались четными. Далее вершина v выводится в качестве первой вершины эйлерова цикла, а процесс продолжается, начиная с вершины, стоящей на вершине стека.

Мне бы хотелось привести здесь еще один алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе — это Алгоритм Флёри, он позволяет пронумеровать ребра исходного графа так, чтобы номер ребра указывал каким по счету это ребро войдет эйлеров цикл.

Алгоритм Флёри:

1. Начиная с любой вершины v присваиваем ребру vu номер 1. Вычеркиваем это ребро из списка ребер и переходим к вершине u.

2. Пусть w - вершина, в которую мы пришли в результате выполнения 1 шага алгоритма и k - номер, присвоенный очередному ребру на этом шаге. Выбираем произвольное ребро инцидентное вершине w, причем мост выбираем только в крайнем случае, если других возможностей выбора ребра не существует. Присваиваем ребру номер k+1 и вычеркиваем его. Процесс длится до тех пор, пока все ребра не вычеркнут.

Примечание: Мостом называется ребро, удаление которого лишает данный граф связности, т.е. увеличивает число компонент связности.

Пример:

П
риведем теперь строгое обоснование корректности алгоритма Флёри построения эйлерового цикла в данном эйлеровом графе.

Теорема 2. Пусть G(V,E) — эйлеров граф. Тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к построению эйлерова цикла графа G(V,E).

Выходя из произвольной вершины, идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая при этом следующие правила:

1. Стираем ребра по мере их прохождения (вместе с изолированными вершинами, которые при этом образуются);

2. На каждом шаге идем по мосту только в том случае, когда нет других возможностей.

Доказательство.