Для определения из конкретных условий решаемой задачи вероятности P { w _i } отдельных элементарных событий используется один из следующих трех подходов.

Априорный подход к вычислению вероятностей P { w _i } заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента (до проведения самого эксперимента). В ряде ситуаций этот предопытный анализ позволяет теоретически обосновать способ определения искомых вероятностей. Например, возможен случай, когда пространство всех возможных элементарных исходов состоит из конечного числа N элементов, причем условия производства исследуемого случайного эксперимента таковы, что вероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов нам представляются равными (именно в такой ситуации мы находимся при подбрасывании симметричной монеты, бросании правильной игральной кости, случайном извлечении игральной карты из хорошо перемешанной колоды и т. п.). В силу аксиомы (1.1) вероятность каждого элементарного события равна в этом случае 1/ N . Это позволяет получить простой рецепт и для подсчета вероятности любого события: если событие А содержит N_A элементарных событий, то в соответствии с определением (1.2)

Р {А} = N_A / N . (1.2')

Смысл формулы (1.2’) состоит в том, что вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благоприятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности). В современной трактовке формула (1.2’) не является определением вероятности: она применима лишь в том частном случае, когда все элементарные исходы равновероятны.

Апостериорно-частотный подход к вычислению вероятностей Р { w _i } отталкивается, по существу, от определения вероятности, принятого так называемой частотной концепцией вероятности. В соответствии с этой концепцией вероятность P { w _i } определяется как предел относительной частоты появления исхода w _i в процессе неограниченного увеличения общего числа случайных экспериментов n , т.е.

p_i = P { w_i } = lim m_n (w_i ) / n (1.4)

где m_n ( w_i ) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного события w _i . Соответственно для практического (приближенного) определения вероятностей p_i предлагается брать относительные частоты появления события w _i в достаточно длинном ряду случайных экспериментов.

Разными в этих двух концепциях оказываются определения вероятностей: в соответствии с частотной концепцией вероятность не является объективным, существующим до опыта, свойством изучаемого явления, а появляется только в связи с проведением опыта или наблюдения; это приводит к смешению теоретических (истинных, обусловленных реальным комплексом условий «существования» исследуемого явления) вероятностных характеристик и их эмпирических (выборочных) аналогов.

Апостериорно-моделъный подход к заданию вероятностей P { w_i } , отвечающему конкретно исследуемому реальному комплексу условий, является в настоящее время, пожалуй, наиболее распространенным и наиболее практически удобным. Логика этого подхода следующая. С одной стороны, в рамках априорного подхода, т. е. в рамках теоретического, умозрительного анализа возможных вариантов специфики гипотетичных реальных комплексов условий разработан и исследован набор модельных вероятностных пространств (биномиальное, пуассоновское, нормальное, показательное и т. п.). С другой стороны, исследователь располагает результатами ограниченного ряда случайных экспериментов. Далее, с помощью специальных математико-статистических приемов исследователь как бы прилаживает гипотетичные модели вероятностных пространств к имеющимся у него результатам наблюдения и оставляет для дальнейшего использования лишь ту модель или те модели, которые не противоречат этим результатам и в некотором смысле наилучшим образом им соответствуют.

2. Примеры стохастических зависимостей в экономике, их особенности и теоретико-вероятностные способы их изучения

Накопленный опыт практического использования аппарата статистического исследования зависимостей позволяет выделить те типы основных прикладных направлений исследований, в которых этот аппарат работает особенно часто и плодотворно.

Остановимся кратко на роли методов статистического исследования зависимостей в разработке каждого из следующих направлений.

I . Нормирование

Общая схема формирования нормативов с использованием методов статистического исследования зависимостей может быть представлена следующим образом. Нормативный показатель играет в моделях типа

η = f ( x ) + ε (2.1)

роль результирующей (объясняемой) переменной у, а факторы, участвующие в расчете нормативного показателя, - роль объясняющих переменных x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} . Предполагается, что привлечение для расчета норматива у полной системы определяющих его факторов, т.е. такой системы, с помощью которой возможно детерминированное (однозначное) определение величины у, либо принципиально невозможно, либо нецелесообразно из-за чрезмерного усложнения расчетных формул. Поэтому анализируется связь между у и ( x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} ) вида

y = f x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} ; θ ) + ε, (2.2)

где ε – остаточная компонента, обуславливающая возможную погрешность в определении норматива y по известным значениям факторов X = ( x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} ) ^T , а f ( X ; θ) – функция их некоторого известного параметрического семейства F = { f ( X ; θ)}, θ € A , однако численное значение входящего в ее уравнение параметра θ неизвестно. Для подбора «подходящего» значения θ проводится контрольный эксперимент (наблюдение), в результате которого исследователь получает исходные статистические данные.

Далее на основании этих данных проводится необходимый статистический анализ модели 2.2 с целью получения оценки θ неизвестного параметра θ и анализа точности полученной расчетной формулы Y_cp ( X ) = f ( X ; θ), в которой величина условной (экспериментальной) средней Y_cp ( X ) интерпретируется как средний нормативный показатель при значениях определяющих факторов, равных Х .

Данный подход использовался, в частности, при разработке методик численности служащих (по различным их функциям) на промышленном предприятии.

II . Прогноз, планирование, диагностика.

Определим в качестве результирующей переменной у интересующий нас прогнозируемый (планируемый, диагностируемый) показатель, а в качестве объясняющих переменных x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} — сопутствующие факторы, значения которых содержат основную информацию о величине этого показателя. Наличие остаточной случайной компоненты ε, как и прежде, отражает тот факт, что переменные x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} содержат не всю информацию об у , и обусловливает неизбежность погрешности в определении прогнозируемого (планируемого, диагностируемого) показателя по известным значениям объясняющих факторов x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} . Исходные статистические данные вида (2.2) исследователь получает, регистрируя одновременно значения у и ( x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} ) на анализируемых объектах в прошлом (в базовом периоде) или на других объектах, но однородных с анализируемыми.

III . Оценка труднодоступных для непосредственного наблюдения и измерения параметров системы.

Восстановление возраста археологической находки по ряду косвенных признаков; прочности бетона с помощью косвенных (неразрушающих) методов контроля; денежных сбережений семьи по ее доходу (в среднедушевом исчислении) — во всех этих ситуациях исследователь вынужден иметь дело с показателями, труднодоступными для непосредственного измерения. Очевидно, для того чтобы иметь принципиальную возможность статистически выявить связь, существующую между труднодоступным показателей у и косвенно связанными с ним, но легко поддающимися наблюдению и измерению признаками x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} , исследователю необходимо располагать исходными статистическими данными, которые получают с помощью специально организованного контрольного эксперимента или наблюдения. После того как эта связь выявлена (и оценена степень ее точности), она используется для косвенного определения значений труднодоступных показателей лишь по значениям объясняющих переменных x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} .

IV . Оценка эффективности функционировании (или качества) анализируемой системы.

Пытаясь оценить (в целом) эффективность деятельности отдельного специалиста, подразделения или предприятия, проранжировать страны по некоторому интегральному качеству, мы каждый раз по существу решаем одну и ту же задачу: отправляясь в своем анализе от набора частных показателей x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} , каждый из которых может быть измерен и характеризует какую-нибудь одну частную сторону понятия «эффективность», мы их как бы взвешиваем и выходим на некоторый скалярный агрегированный показатель эффективности у. Этот показатель — латентный (скрытый), так как он принципиально не поддается непосредственному измерению. Но он с некоторой точностью восстанавливается по значениям частных показателей эффективности x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} . Это значит, что между латентным агрегированный показателем у и набором частных критериев эффективности x ⁽¹⁾ , x ⁽²⁾ , . . . , x ^{( p )} существует статистическая связь типа (2.2).

V . Оптимальное регулирование параметров функционирования анализируемой системы, ситуационный анализ.

Рассмотрим пример. При анализе производительности мартеновских печей на одном из заводов исследовалась, в частности, зависимость между производительностью в тонно/часах и процентным содержанием углерода в металле по расплавлении ванны (пробу брали через час после первого скачивания шлака). Очевидно, величины производительности ( y_i ) и процентного содержания углерода (x_i ) подвержены некоторому неконтролируемому разбросу, обусловленному влиянием множества не поддающихся строгому учету и контролю факторов.

Другими словами, последовательность пар чисел (x_i , y_i ), i = 1, 2, . . . , 130, представляет в данном случае результаты 130 независимых наблюдений двумерной случайной величины (ξ, η). Здесь просматривается вполне определенная закономерность зависимости условного среднего значения производительности y_cp ( x ) = E (η | ξ = x ) от величины процентного содержания углерода х. Поэтому, мы можем дать рекомендации технологу по оптимальному (с точки зрения максимизации производительности) управлению процессом выплавки: поддерживать процентное содержание углерода в пределах 0,6-1,0 %.

Основные типы зависимостей между количественными переменными: