Реферат: Ферромагнетизм. Модель Изинга

В настоящий момент установлено, что магнитные свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами электронов. Установлено также, что ферромагнитными свойствами могут обладать только кристаллические вещества, в атомах которых имеются недостроенные внутренние электронные оболочки с некомпенсированными спинами. В подобных кристаллах могут возникать силы, которые вынуждают спиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно друг другу, что и приводит к возникновению областей спонтанного намагничивания. Эти силы, называемые обменными, имеют квантовую природу – они обусловлены волновыми свойствами электронов.

2. Фазовые переходы в ферромагнетиках

Ферромагнетики - удивительно простые системы, в которых наблюдаются фазовые переходы различных типов.

Рассмотрим решетку, в узлах которой расположены взаимодействующие между собой спины si (магнитные моменты). Энергия взаимодействия пары спинов (обычно учитывается взаимодействие только ближайших соседей).

Eij = -J (si sj) .

Полная энергия E и намагниченность M данной конфигурации спинов {s1, s2, ... sn} могут быть найдены суммированием по всей решетке. В модели Гейзенберга каждый спин может принимать произвольное направление. Если спин вращается в плоскости - это XY модель.

В модели Изинга каждый спин может принимать только два выделенных направления si = +-1 (вверх или вниз). Поскольку si может принимать 2 значения, у системы из n спинов есть 2n различных конфигураций. Ниже приведены 24 = 16 возможных конфигураций спинов и соответствующие энергии для решетки 2x2

E = -4J E = 4J

+ + - - + - - +

+ + - - - + + -

E = 0

- + + - + + + ++ - - + - - - -- - + - + + - +

+ + + + + - - +- - - - - + + -+ + + - - - - +

Для ферромагнетика константа обменного взаимодействия J > 0 и энергия минимальна для спинов, направленных в одну сторону. Система вырождена, т.к. одной энергии соответствует несколько различных конфигураций спинов. Энтропия системы S(E) растет с увеличением степени вырождения состояний с энергией E. Энтропия минимальна в упорядоченном состоянии (при минимальной энергии) и быстро растет с ростом энергии.

рис. 2

Предполагается, что спины взаимодействует также с термостатом с температурой T. В термодинамическом равновесии система стремится к минимуму F = E - T S. Поэтому при низкой температуре она переходит в состояние с минимальной энергией (все спины направлены в одну сторону). Т.о. взаимодействие спинов приводит к их упорядочиванию и появлению макроскопической намагниченности M (см. рис.2). При высокой температуре системе выгоднее уменьшить F за счет увеличения ее энтропии (беспорядка). Тепловые флуктуации разрушают упорядочивание и намагниченность системы обращается в ноль.

В двумерном модели Изинга при критической температуре Tc = 2.269 происходит фазовый переход из неупорядоченного в упорядоченное ферромагнитное состояние.

3. Распределение Гиббса

В состоянии термодинамического равновесия вероятность конфигурации спинов системы {s1, s2, ... sn} определяется функцией распределения Гиббса

w(s1, ... sn) = 1/Z exp[ -E(s1, ... sn)/T ],(1)

где Z - нормировочный коэффициент, называемый статистической суммой и определяемый из условия

∑ s1 ∑ s2 ... ∑ sn w(s1,...sn) = 1, Z = ∑ s1 ∑ s2 ... ∑ sn exp[ -E(s1,...sn)/T ].

Тогда, например, усредненная по функции распределения Гиббса энергия системы

<E>G = ∑ s1 ∑ s2 ... ∑ sn E(s1, ... sn) w(s1, ... sn) =

1/Z ∑ s1 ∑ s2 ... ∑sn E(s1, ... sn) exp[ -E(s1, ... sn)/T] .

В 1944г. Л.Онзагер нашел точное решение для двумерной модели Изинга. В принципе, среднее для любого конечного n может быть найдено перебором всех спиновых конфигураций, но для макроскопических систем (например при n = 100) это невозможно для любой ЭВМ. Однако вклад различных слагаемых в сумму не равнозначен. Из (1) следует, что вероятность нахождения в состоянии с энергией E

w(E) ~ n(E) exp(-E/T),

где n(E) - число конфигураций с энергией E. Последнее выражение можно переписать