Реферат: Ферромагнетизм. Модель Изинга
где S(E) = ln n(E) - энтропия состояний с данной энергией. Поэтому в равновесии среди всех состояний системы чаще будут встречаться конфигурации, для которых велики w(E) и S(E)-E/T.
4. Модель Изинга
Модель Изинга --- математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.
Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое "спином " и равное +1 или -1 ("поле вверх"/"поле вниз"). Каждому из 2^N возможных вариантов расположения спинов (где N --- число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:
где J --- энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле h (часто полагаемое малым):
Затем, для заданной обратной температуры eta=1/k_B T на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Больцмана: вероятность конфигурации полагается пропорциональной e^{-eta E(S)} , , и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов N.
Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (J>0) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов "вверх" и "вниз" будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри.
В этой модели предполагается, что атомы располагаются неподвижно, не совершая колебаний, в узлах идеальной кристаллической решетки. Расстояния между узлами решетки постоянно, оно не зависит ни от температуры, ни от намагниченности, то есть в этой модели не учитывается теплового расширения твердого тела.
Взаимодействие между магнитными моментами в модели Изинга учитывается, как правило, лишь между ближайшими соседями. Считается, что величина этого взаимодействия также не зависит от температуры и намагниченности. Взаимодействие обычно (но не всегда) считается центральным и парным.
Однако даже в такой простой модели изучение фазового перехода ферромагнетик–парамагнетик встречает огромные математические трудности. Достаточно сказать, что точного решения трехмерной задачи Изинга в общем случае до сих пор не получено, а применение более-менее точных приближений в этой задаче приводит к большим вычислительным трудностям и находится на грани возможностей даже современной вычислительной техники.
5. Линейная модель Изинга с дальним взаимодействием
Двумерная модель Изинга с дальним взаимодействием до сих пор не решена. Поэтому представляет интерес рассмотрение поведения упрощенных моделей с дальним взаимодействием. Одной из таких моделей является линейная (одномерная) модель со взаимодействием ближайших и следующих за ближайшими соседей.
Для описания взаимодействия в такой модели введем матрицу с тремя индексами Wijlс элементами:
< i|W|j>|l>=exp(θ1σiσj)exp(θ2σiσj), θ1 =J1 /kT, θ2 =J2/kT, (1)
где J1 иJ2 -параметры взаимодействия ближайших и следующих за ближайшими соседей соответственно, k –постоянная Больцмана, Т –абсолютная температура, конфигурационные переменные σi ,σj ,σlнезависимо принимают значения ±1.
В стандартных обозначениях для многомерных матриц элементы матрицы (1) можно расположить в виде прямоугольной таблицы:
Стрелки указывают направление, в котором возрастают соотвецтвующие индексы. В качестве значений индексов мы выбрали значения конфигурационных переменных σi,σj,σl ,причем в двоичной системе счисления знаку плюс сопоставляем 0, знаку минус сопоставляем 1.