Реферат: Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы
Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.
Хочется обратить внимание на две главные проблемы дидактики математики: модернизация содержания школьного математического образования и совершенствование структуры курса.
Быстрый рост объема научной информации, ограниченность срока школьного обучения и невозможность сокращения объема изучаемых в школе основ науки с целью включения новой информации усложняют проведение реформ по модернизации школьного образования, а поэтому готовить их придется в течение более длительного времени, тщательно и строго на научной основе.
Имеют место успешные эксперименты по модернизации курса начальных классов и изучению в нем начал алгебры, что позволило дать значительную пропедевтику алгебры и геометрии в I-V классах, позволяющую изучить систематические курсы этих предметов в более быстром темпе и перенести ряд тем из старших классов в средние; включить в программу старших классов элементы высшей математики. Таким образом, улучшение системы курса возможно и в период между реформами, т.е. независимо от модернизации образования.
Мы не беремся решать эти вопросы, т.к. работаем в более узком направлении, предлагая на данном этапе ввести в общеобразовательный курс тему “Комплексные числа”.
Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является формирование понятия комплексного числа.
Борьба за сознание учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.
1) Развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике, в частности - в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике и самолетостроении и т.д.
2) Действия над комплексными числами связаны с важными действиями геометрического характера и имеют значительные и обширные приложения. Также с их помощью можно иногда с большей простотой получить такие результаты, относящиеся к действительным числам, которые без комплексных чисел получаются с большим трудом.
3) Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий. Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое – мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.
Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.
Существуют различные подходы к введению понятий комплексных чисел. Предлагаем для образовательного курса формально – логическую теорию. Не можем согласиться с таким изложением теории комплексных чисел, при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме, т.к. со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т.е. как новое расширенное понятие числа, а не как геометрическое понятие, лишь в последствии получающее арифметическое истолкование.
Цель данной работы развивать мышление старшеклассников через формирование нового понятия – понятия комплексного числа.
Задачи :
-исследовать особенности математического мышления старшеклассников;
-исследовать процесс формирования понятий на материале темы “Комплексные числа”.
Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс средней школы
1.1. Мышление и учебная деятельность
1.1.1. Определение понятия мышление
Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, одной из основных задач современного школьного обучения.
В психологии мышление определяется как процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности (24), как особого рода теоретическая и практическая деятельность, предлагающая систему включенных в неё действий и операций ориентировочно – исследовательского, преобразовательного и познавательного характера (16), как социально - обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового (19). Сущность его в отражении: - общих и существенных свойств предметов и явлений, в том числе и таких свойств, которые не воспринимаются непосредственно; - существенных отношений и закономерных связей между предметами и явлениями.
Мышление играет поистине огромную роль в познании. Оно расширяет границы познания, дает возможность выйти за пределы непосредственного опыта ощущений и восприятия, знать и судить о том, что человек непосредственно не наблюдает, не воспринимает. Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений, которые в данный момент не существуют. Мышление перерабатывает информацию, которая содержится в ощущениях и восприятии, а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике (8).
Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.
На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.
Специфическим результатом мышления может выступить понятие – обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях (16).
1.1.2. Особенности мышления старшеклассников
Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений применять на практике приемы и операции мышления. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и всё более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приёмами умственной деятельности модернизируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения. Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять её на практике.
Для старших школьников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Старшеклассник сначала старается понять значимость приема мыслительной деятельности, а затем уже и освоить его, если он действительно значим. Изменяются и мотивы учения, т.к. они приобретают для старшеклассника важный жизненный смысл.
Ведущее значение в мышлении старшеклассника занимает абстрактное мышление, но роль конкретного мышления отнюдь не умаляется: приобретая обобщенное значение, конкретное мышление выступает в виде технических образов, схем, чертежей и т.п., оно становится носителем общего, а общее выступает как выразитель конкретного. Овладение абстрактными и теоретическими знаниями приводит к изменению у старшеклассников самого течения мыслительного процесса. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно – следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий.
Все сказанное говорит о высокой степени развития теоретического мышления, многостороннем и глубоком проявлении внутренней речи, “доказывающего” мышления. Мышление юношей и девушек становится диалектическим: они не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности и рассматривают явления, события, процессы в непрерывном движении, изменениях и превращениях, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют операции и приемы мышления и пытаются совершенствовать их в процессе учебной деятельности.
Однако в некоторых исследованиях отмечаются и недостатки мышления старшеклассников. Так, немалое их число проявляют склонность к необоснованным рассуждениям, умозрительным филосовствованиям, оперированию абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания, к выдвижению оригинальных идей, вытекающих из неопределенных ассоциаций или фантастических вымыслов и домыслов. Нередки случаи, когда существенное оценивается как менее значимое, чем несущественные, не всегда правильно или широко проводится перенос знаний, наблюдается слабое развитие речи, склонность к некритическому отношению к усваиваемым знаниям. Встречаются хорошо успевающие ученики, которые преувеличивают свои умственные способности и поэтому успокаиваются на достигнутом. Но все это, как обычно указывают авторы, касается только меньшинства старшеклассников или их отдельных представителей, а основная масса достигает достаточно высокого уровня развития мыслительных способностей и хорошо подготовлена к дальнейшей учебной и познавательной деятельности (21).